§ 37. Основные понятия

Определения и обозначения

Случайный эксперимент — действие, результат которого заранее неизвестен, хотя возможные результаты можно описать. Например, до броска монеты нельзя знать, что выпадет. Это понятие нужно, чтобы отделять случайные ситуации от действий с заранее известным результатом.

Элементарный исход — один из отдельных возможных результатов случайного эксперимента. При броске кубика таким исходом будет выпадение числа 4, а не сразу нескольких чисел. Понятие помогает рассматривать эксперимент по самым простым результатам.

Пространство элементарных исходов — множество всех возможных элементарных исходов эксперимента. Для кубика оно состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Такое множество нужно составить первым, чтобы не пропустить возможный результат при описании события.

Случайное событие — некоторое множество элементарных исходов; событие происходит, если результат эксперимента принадлежит этому множеству. Например, событие «выпало чётное число» объединяет исходы 2, 4 и 6. События позволяют кратко описывать нужные результаты, не перечисляя каждый раз весь эксперимент.

Как это устроено

Эксперимент называют случайным не потому, что у него совсем нет правил, а потому, что конкретный результат заранее неизвестен. При этом возможные результаты можно перечислить: у монеты это орёл и решка, у кубика — числа от 1 до 6. Если результат нельзя предсказать наверняка, но список вариантов составить можно, перед нами случайный эксперимент. Благодаря этому случайность удаётся изучать точно, а не только описывать словами.

Чтобы составить пространство элементарных исходов, сначала определяют, что именно считается одним результатом. Затем перечисляют все результаты, которые могут появиться, и проверяют каждый вариант: возможен ли он и не повторяется ли уже среди записанных. Например, для выбора одной буквы из слова «дом» исходами будут буквы д, о и м, если различают именно выбранные буквы. Пространство должно включать все реальные варианты и не включать невозможные.

Событие соотносится с пространством исходов как часть с целым. Сначала формулируют условие, например «выпало число больше 4», а затем выбирают из пространства все исходы, удовлетворяющие этому условию. Для кубика это 5 и 6, поэтому событие состоит из двух элементарных исходов. Одно событие может объединять несколько исходов или только один.

Достоверное событие содержит все исходы пространства, поэтому происходит при любом результате. Невозможное событие не содержит ни одного исхода, и потому не происходит никогда. Случайное событие занимает промежуточное положение: в пространстве есть подходящие и неподходящие исходы. Чтобы определить вид события, сравнивают его множество с полным пространством исходов.

Проверить, произошло ли событие, можно по конкретному результату эксперимента. Нужно подставить этот исход в условие события и выяснить, выполняется ли оно. Если да, исход входит в событие и событие произошло; если нет, событие не произошло. Например, при выпадении 3 событие «выпало число больше 2» происходит, а событие «выпало число меньше 2» — нет.

Виды событий и их связь с исходами эксперимента

Сначала найдите в таблице пространство исходов, а затем сравните с ним событие. Если событие включает все исходы, оно достоверное; если ни одного — невозможное. Когда подходит только часть исходов, событие случайное.

Разбор задач

Задача 1

При подбрасывании монеты перечислите элементарные исходы и укажите событие «выпал орёл». Нужно различить отдельные результаты и множество, задающее событие. Считаем, что монета обычная и при броске может выпасть одна из двух сторон.

1. Перечислим все возможные результаты: орёл и решка.
2. Запишем пространство элементарных исходов: {орёл, решка}.
3. Выберем исход, соответствующий условию «выпал орёл»: это только орёл.

Ответ: элементарные исходы — орёл и решка; событие «выпал орёл» состоит из одного исхода — орёл. Это случайное событие, потому что оно может произойти, но не происходит при выпадении решки.

Задача 2

При броске игрального кубика опишите пространство элементарных исходов и событие «выпало число больше 4». Сначала нужно учесть все грани кубика, а уже потом проверить условие. На обычном кубике нанесены числа от 1 до 6.

1. Запишем пространство исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Проверим числа по условию «больше 4»: подходят 5 и 6.
3. Объединим подходящие исходы в событие: {5, 6}.

Ответ: пространство элементарных исходов — {1, 2, 3, 4, 5, 6}; событие «выпало число больше 4» — {5, 6}. Событие не является достоверным, так как числа 1, 2, 3 и 4 ему не подходят.

Задача 3

В мешке лежат красные и синие жетоны. Опишите исходы случайного выбора одного жетона и определите, какие из событий «выбран красный жетон» и «выбран зелёный жетон» возможны. Цвет выбранного жетона полностью описывает результат опыта. Зелёный жетон в мешке отсутствует.

1. Перечислим возможные исходы по цвету: красный и синий.
2. Событие «выбран красный жетон» содержит исход «красный», поэтому оно возможно.
3. Событие «выбран зелёный жетон» не содержит подходящих исходов, поэтому оно невозможно.

Ответ: пространство исходов — {красный, синий}; событие выбора красного жетона возможно, а событие выбора зелёного жетона невозможно. Оно стало бы возможным только после изменения состава мешка.

Типичные ошибки

Иногда один конкретный исход называют событием. Ошибка возникает потому, что в обычной речи эти слова похожи, но событие может включать несколько исходов. Проверьте себя: если условие подходит к нескольким результатам, перед вами событие, а не один элементарный исход.

Другая ошибка — неполное пространство исходов. Например, при броске кубика можно случайно забыть число 6, а затем неверно определить событие. Чтобы проверить запись, перечислите результаты по порядку и спросите о каждом: может ли он появиться?

Невозможное событие иногда считают случайным только из-за его формулировки. Слова «выпал зелёный жетон» не делают результат возможным, если зелёных жетонов в мешке нет. Сравните условие со всем пространством и найдите хотя бы один подходящий исход.

Нельзя смешивать событие «выпало число больше 4» с исходом «выпало 5». Число 5 — один элементарный исход, а событие состоит из исходов 5 и 6. Для проверки выпишите множество результатов, удовлетворяющих условию.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь перечислять результаты простых опытов и понимать, что такое множество. Это помогает точно отделять один результат от набора результатов и проверять полноту пространства исходов. Без такого описания трудно правильно сформулировать событие.

Понятия исхода и события понадобятся при изучении вероятности. В задачах на случайные эксперименты сначала находят пространство исходов и подходящие исходы события, а уже затем сравнивают их или вычисляют вероятность. Поэтому аккуратная запись множеств является основой дальнейших рассуждений.

Что запомнить

• Случайный эксперимент имеет заранее описываемые, но заранее не известные результаты.
• Элементарный исход — один отдельный результат эксперимента.
• Пространство элементарных исходов включает все возможные исходы.
• Событие состоит из исходов, при которых выполняется его условие.
• Достоверное событие происходит при любом исходе.
• Невозможное событие не происходит ни при одном исходе.