"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Метод подстановки помогает решить систему уравнений, в которой нужно найти значения сразу нескольких неизвестных. Сначала одну неизвестную выражают через другую, а затем подставляют это выражение во второе уравнение. Так система превращается в обычное уравнение с одной неизвестной. После его решения находят второе значение и проверяют пару в исходных уравнениях. Главное — аккуратно следить за знаками и записать оба значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же неизвестными. Например, в системе могут одновременно находиться уравнения с x и y. Система задаёт условия, которые должны выполняться вместе, а не по отдельности.
Решение системы — упорядоченная пара значений неизвестных, при подстановке которой все уравнения системы становятся верными равенствами. Порядок значений важен: первое обычно относится к x, второе — к y. Так можно точно указать, какое значение соответствует каждой неизвестной.
Метод подстановки — способ решения системы, при котором одну неизвестную выражают через другую и подставляют это выражение во второе уравнение. После подстановки остаётся уравнение с одной неизвестной. Найдя её, вычисляют вторую и составляют пару.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При преобразованиях нужно сохранять равносильность, чтобы не потерять подходящую пару и не получить лишнюю. Поэтому полученное решение в конце проверяют в исходных уравнениях.
В системе есть несколько неизвестных, поэтому решить каждое уравнение отдельно обычно недостаточно: значения должны подходить им одновременно. Если выразить одну переменную через другую, её можно заменить этим выражением. Тогда в уравнении останется только одна неизвестная, и задача сведётся к знакомому решению линейного уравнения. После этого найденное значение поможет восстановить второе.
Начать можно с любого уравнения, но один выбор часто оказывается заметно проще другого. Ищи уравнение, где при неизвестной стоит 1 или −1: тогда её удаётся выделить без деления на сложное число. Например, из x − y = 1 сразу получается x = y + 1. Если оба варианта одинаково просты, выбирай тот, который даёт меньше дробей и скобок.
Полученное выражение подставляют вместо соответствующей неизвестной во второе уравнение. Если вместо x нужно поставить y + 1, заменяют именно x, а не всё уравнение. Скобки помогают сохранить целостность выражения: например, 2x после замены становится 2(y + 1). Затем раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, чтобы получить уравнение, которое легко решить.
Решив уравнение с одной неизвестной, находят значение второй по выражению из первого уравнения. Например, если было получено x = y + 1 и найдено y, достаточно подставить это число в запись x = y + 1. Это не новая независимая догадка: значение второй переменной связано с первой тем уравнением, из которого её выразили. Так появляется полная пара значений.
В конце пару проверяют в исходной системе, потому что вычислительная ошибка могла возникнуть на любом шаге. Подстановка в оба исходных уравнения подтверждает, что равенства верны одновременно. Запись только одного числа не завершает решение: система требует значений всех своих неизвестных. Поэтому ответ указывают парой, сохраняя соответствие между x и y.
| Этап | Что сделать | Что получить |
|---|---|---|
| Выбрать уравнение и неизвестную для выражения | Найти удобное уравнение и переменную | Простой путь к выражению |
| Выразить одну неизвестную через другую | Преобразовать выбранное уравнение | Запись вида x = … или y = … |
| Подставить выражение во второе уравнение | Заменить соответствующую переменную | Уравнение с одной неизвестной |
| Решить уравнение с одной неизвестной | Раскрыть скобки и выполнить преобразования | Значение одной переменной |
| Найти вторую неизвестную и проверить пару | Подставить найденное значение и проверить оба уравнения | Решение системы — пара чисел |
Двигайся по строкам сверху вниз: каждый результат становится основой следующего действия. Если на каком-то этапе вычисления усложняются, проверь выбор уравнения и аккуратность преобразований. В последней строке обязательно подставь пару именно в исходную систему.
Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. В первом уравнении x удобно выразить сразу: коэффициент при нём равен 1. Тогда второе уравнение будет содержать только y после подстановки. Найденное y поможет вычислить x.
Ответ: (4; 3).
Решите систему: 2x + 3y = 13, x − y = 1. Во втором уравнении легко выразить x, поэтому не придётся делить на 2 или 3. Подставим это выражение в первое, сохраняя скобки при умножении. Затем найдём обе координаты и проверим результат.
Ответ: (16/5; 11/5).
Решите систему: 0,2x + 0,3y = 1,3, 2x − y = 4. Во втором уравнении удобно выразить y, потому что его коэффициент равен −1. При подстановке важно не потерять минус перед y и правильно умножить выражение в скобках на 0,3. Проверка покажет, что десятичные вычисления выполнены верно.
Ответ: (3,125; 2,25).
Ошибка в знаке или коэффициенте при выражении неизвестной. Её допускают, когда переносят слагаемое или делят только часть уравнения. Выполняй одинаковые действия с обеими частями и проверяй полученное выражение обратной подстановкой в исходное уравнение.
Подстановка не вместо той неизвестной или не во всё слагаемое. Так случается, если не следить, какую переменную выразили, или забыть о множителе перед ней. Сначала подпиши, например, x = …, а при замене заключай всё выражение в скобки; затем сравни каждую часть нового уравнения с исходной.
Потеря знака при раскрытии скобок. Особенно легко ошибиться, когда перед скобками стоит минус: все знаки внутри тогда меняются. Раскрывай скобки по членам и проверь результат повторным умножением; например, −(a − b) = −a + b.
В ответе указано только одно значение. Одно число не задаёт пару и не показывает, чему равна вторая неизвестная. После нахождения первой переменной вернись к выражению для второй, вычисли её и проверь оба исходных равенства.
Для метода подстановки нужны навыки решения линейных уравнений с одной неизвестной, выражения переменной из равенства и раскрытия скобок. Эти умения помогают выполнить каждый шаг без лишних преобразований. В дальнейшем тот же способ пригодится при решении систем нелинейных уравнений, когда среди уравнений встречаются выражения более сложного вида.
Системы также составляют по условиям текстовых задач: неизвестные обозначают буквами, а каждое условие записывают уравнением. Метод подстановки позволяет заменить одну неизвестную выражением и последовательно найти значения величин. После решения полезно проверить, что найденные значения подходят не только уравнениям, но и смыслу задачи.
Как понять, из какого уравнения лучше выражать неизвестную?
Посмотри, где при x или y стоит коэффициент 1 или −1: такую переменную обычно проще выразить. Если таких уравнений нет, выбирай вариант, при котором не появятся сложные дроби.
Можно ли выразить любую из двух неизвестных?
Да, можно выразить x через y или y через x, если преобразования выполнены правильно. Обычно выбирают более простой путь, чтобы было меньше вычислений.
Почему при подстановке выражение иногда нужно заключать в скобки?
Скобки показывают, что вместо неизвестной подставляется всё выражение целиком. Они особенно нужны перед раскрытием, если перед неизвестной в уравнении стоит минус или число.
Что делать, если после подстановки получилось уравнение с дробями?
Решай его обычными допустимыми преобразованиями. Часто удобно умножить обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы убрать дроби, а затем продолжить решение.
Как проверить, что найденная пара действительно является решением системы?
Подставь оба найденных значения в каждое исходное уравнение. Если в обоих случаях получились верные равенства, пара является решением системы.
§ 38. Метод подстановки
