"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Метод алгебраического сложения помогает решать системы линейных уравнений с двумя переменными. Уравнения складывают или вычитают так, чтобы одна переменная исчезла, а оставшаяся нашлась из обычного уравнения. Если коэффициенты при нужной переменной пока не подходят, уравнения предварительно умножают на ненулевые числа. Затем находят вторую переменную подстановкой и проверяют оба равенства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод алгебраического сложения — способ решить систему уравнений, преобразуя уравнения и складывая или вычитая их. Цель — исключить одну переменную и получить уравнение только с другой. Это удобно, когда после такого шага систему можно решить обычным способом.
Система линейных уравнений с двумя переменными — несколько уравнений, которым должны одновременно удовлетворять одни и те же значения переменных. Например, пара чисел подходит системе, только если при подстановке выполняются оба равенства. Это определение помогает отличить решение всей системы от решения одного уравнения.
Равносильные системы — системы с одинаковыми решениями. При преобразованиях системы важно не потерять подходящие пары и не добавить лишние, иначе ответ изменится. Поэтому используют действия, которые сохраняют множество решений.
Исключение переменной — получение уравнения с одной переменной при сложении или вычитании уравнений системы. Переменная исчезает, если её слагаемые взаимно уничтожаются. Этот шаг превращает задачу с двумя неизвестными в более простое уравнение.
Сложение помогает исключить переменную, когда её слагаемые имеют противоположные коэффициенты. Например, при сложении уравнений с 5y и −5y получается 0y, то есть переменная y пропадает. Причина в том, что противоположные числа в сумме дают ноль, а остальные слагаемые остаются. Поэтому заранее смотрят на знаки и значения коэффициентов.
Сначала выбирают, какую переменную удобнее исключить, и проверяют коэффициенты при ней. Если они не противоположны, одно или оба уравнения можно умножить на подходящие числа. Например, коэффициенты 2 и 3 можно превратить в 6 и −6, если соответствующим образом умножить уравнения. Выбор небольших множителей обычно помогает избежать громоздких вычислений.
Умножение уравнения на ненулевое число не меняет его решений, потому что обе части равенства изменяются одинаково. Если равные величины умножить на одно и то же число, они останутся равными. Так можно изменить коэффициенты, не меняя исходную систему по смыслу. Ноль не подходит: после умножения обеих частей на ноль получится верное равенство 0 = 0, которое уже не сообщает, какие значения были допустимы.
После сложения или вычитания получается уравнение с одной переменной. Его решают, а найденное значение подставляют в одно из исходных уравнений системы. Так находят вторую переменную: в равенстве остаётся только одно неизвестное. Подставлять удобно в то уравнение, где вычисления проще.
В конце пару значений проверяют в обоих исходных уравнениях. Решение системы должно удовлетворять каждому равенству одновременно, поэтому одной проверки недостаточно. Если оба равенства верны, найденная пара подходит системе. Если хотя бы одно не выполняется, нужно проверить вычисления и знаки.
Таблица показывает порядок действий от выбора переменной до проверки ответа. Двигайся по этапам сверху вниз и записывай преобразования так, чтобы было видно, как изменились коэффициенты. В конце обязательно проверь пару подстановкой в исходную систему.
| Этап | Действие | Результат |
|---|---|---|
| Выбор переменной для исключения | Сравнить коэффициенты при x и y | Выбрана переменная, которую удобнее убрать |
| Подготовка коэффициентов | При необходимости умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа | Коэффициенты выбранной переменной стали противоположными |
| Сложение или вычитание уравнений | Выполнить одинаковое действие с обеими частями равенств | Получено уравнение с одной переменной |
| Нахождение второй переменной | Подставить найденное значение в исходное уравнение | Получена пара значений |
| Проверка пары значений | Подставить оба значения в каждое исходное уравнение | Подтверждено решение системы |
Задача 1. Решить систему: x + y = 7, x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому переменная исчезнет при сложении без предварительных преобразований. После этого останется найти x, затем подставить его в одно из равенств.
Ответ: (4; 3). Здесь не пришлось менять коэффициенты: противоположные слагаемые при y сразу уничтожились. Проверка показала, что пара подходит обоим уравнениям.
Задача 2. Решить систему: 2x + 3y = 13, 4x − 3y = 5. При y стоят противоположные коэффициенты 3 и −3, поэтому складываем уравнения. Получив значение x, подставим его в исходное равенство, чтобы определить y.
Ответ: (3; 7/3). В этой системе складывание сразу исключило y, а подстановка помогла найти её значение. Проверка обоих уравнений подтверждает результат.
Задача 3. Решить систему: 3x + 2y = 16, 5x − 3y = −5. Коэффициенты при y пока не противоположны, поэтому сначала подготовим уравнения. Подходят множители 3 и 2: они превратят коэффициенты при y в 6 и −6.
Ответ: (2; 5). Умножение подготовило противоположные коэффициенты, но не изменило решения системы. Подстановка в исходные уравнения завершила решение и проверку.
Ошибка: складывать уравнения, хотя коэффициенты выбранной переменной не противоположны. Тогда переменная не исчезает, и вместо уравнения с одной неизвестной остаётся прежняя сложность. Это часто происходит, когда хочется сразу начать вычисления. Перед сложением проверь коэффициенты и, если нужно, сначала умножь уравнения.
Ошибка: умножить на число только отдельные слагаемые, а не всё уравнение. Так нарушается равенство, потому что левая и правая части преобразованы неодинаково. Обычно это случается, когда множитель распределяют не на все члены. Для самопроверки обведи каждый член обеих частей и убедись, что каждый умножен.
Ошибка: перепутать знаки при сложении или вычитании коэффициентов и свободных членов. Например, −3y + 3y равно нулю, но −3y − 3y равно −6y. При длинной записи легко потерять знак, поэтому складывай соответствующие слагаемые отдельно или записывай их столбиком. Затем проверь, действительно ли выбранная переменная исчезла.
Ошибка: остановиться после нахождения одной переменной. Одно полученное значение ещё не задаёт пару, а значит, решение системы пока не найдено; кроме того, вычисления могли содержать ошибку. Подставь найденное число в исходное уравнение, найди вторую переменную, а затем проверь оба равенства.
Для работы методом сложения нужно уметь решать линейные уравнения и выполнять преобразования равенств, в том числе умножать обе части на ненулевое число. Метод также опирается на понятие системы: найденные значения должны подходить сразу всем её уравнениям. Подстановка помогает найти вторую переменную и проверить полученную пару.
Этот способ пригодится при решении других систем линейных уравнений. С его помощью можно решать и задачи, которые сначала переводят в систему: неизвестные обозначают переменными, а условия записывают уравнениями. Затем выбирают удобную переменную и исключают её сложением или вычитанием.
Когда можно сразу складывать уравнения системы?
Когда коэффициенты при одной переменной уже противоположны: например, 3 и −3. При сложении такие слагаемые дают ноль, и переменная исчезает.
Как выбрать переменную, которую удобнее исключить?
Сравни коэффициенты при x и y. Выбирай ту переменную, для которой коэффициенты проще сделать противоположными, умножив уравнения на небольшие числа.
На какие числа можно умножать уравнения?
Уравнение можно умножать на любое ненулевое число, если умножить на него обе части целиком. На ноль умножать нельзя: тогда равенство перестанет содержать исходную информацию.
Почему при сложении уравнений одна переменная исчезает?
У выбранной переменной делают противоположные коэффициенты. При сложении соответствующие слагаемые взаимно уничтожаются, например, 4y + (−4y) = 0.
Обязательно ли проверять найденную пару значений?
Да, проверка подтверждает, что пара подходит сразу к обоим уравнениям системы. Подставь значения переменных в исходные равенства и убедись, что каждое из них верно.
§ 39. Метод алгебраического сложения
