"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Метод алгебраического сложения помогает решить систему линейных уравнений, если сложить или вычесть уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. Для этого сравнивают коэффициенты при одной и той же переменной: если они противоположны, уравнения складывают, а если равны — вычитают. Когда коэффициенты не подходят, уравнение или оба уравнения умножают на ненулевые числа. Затем находят одну переменную, подставляют её значение и проверяют пару.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод алгебраического сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну из переменных. Исключить переменную — значит получить уравнение, в котором её больше нет. Так вместо двух неизвестных можно сначала найти одну, а потом определить вторую.
Коэффициенты при переменной — числа, на которые умножаются переменные в уравнении. Например, в записи 4x − 3y = 8 коэффициент при x равен 4, а при y равен −3. При выборе действия сравнивают коэффициенты одной и той же переменной в обоих уравнениях, иначе нельзя понять, исчезнет ли она.
Равносильные системы — системы, у которых совпадают решения. Значит, после преобразования должны остаться те же пары чисел, которые подходят исходной системе. Это нужно, чтобы складывать, вычитать или умножать уравнения и при этом не потерять правильный ответ и не получить лишний.
Если пара чисел подходит каждому уравнению системы, она подходит и их сумме: складывая равные части, мы сохраняем равенство. То же верно при вычитании одного уравнения из другого. Поэтому можно заменить два уравнения их суммой или разностью и получить условие, которому продолжает удовлетворять решение системы. Выбирают такую операцию, чтобы слагаемые с одной переменной взаимно уничтожились.
Начни с выбора переменной, которую проще исключить. Если её коэффициенты уже противоположны, например 5 и −5, уравнения складывают: 5x + (−5x) = 0. Если коэффициенты одинаковы, например 3 и 3, удобнее вычесть одно уравнение из другого. Сравнивать нужно коэффициенты именно одной переменной; тогда сразу видно, какое действие уберёт её.
Если подходящих коэффициентов нет, уравнения можно умножить на ненулевые числа. Например, коэффициенты 2 и 3 можно превратить в 6 и −6: первое уравнение умножить на 3, а второе — на −2. При умножении меняются все слагаемые уравнения, в том числе число справа от знака равенства. Ненулевой множитель сохраняет равенство, потому что обе его части умножаются на одно и то же число.
После сложения или вычитания остаётся уравнение с одной переменной. Реши его привычным способом: перенеси слагаемые и найди неизвестное. Затем подставь найденное значение в одно из исходных уравнений — так вычислишь вторую переменную. Подстановка удобна тем, что вместо двух неизвестных в уравнении остаётся только одна.
Найденная пара должна удовлетворять обоим исходным уравнениям, ведь решение системы — это общая пара для всех её уравнений. Подставь значения отдельно в левую и правую части каждого уравнения и проверь равенства. Если они верны, запиши ответ парой значений переменных. Если хотя бы одно равенство не выполняется, проверь преобразования и вычисления.
| Этап | Что сделать | Зачем |
|---|---|---|
| Выбрать переменную для исключения | Сравнить коэффициенты при x и y | Найти самый удобный вариант |
| Сделать коэффициенты при ней противоположными, если это необходимо | Умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа | Подготовить слагаемые к сокращению |
| Сложить уравнения почленно | Сложить левые части и правые части | Убрать выбранную переменную |
| Решить уравнение с одной переменной | Найти значение оставшейся неизвестной | Получить первое значение |
| Найти вторую переменную подстановкой | Подставить известное значение в исходное уравнение | Определить пару |
| Проверить пару в исходной системе | Подставить оба значения в каждое уравнение | Убедиться, что ответ верен |
Пользуйся таблицей как порядком действий: не переходи к сложению, пока не подготовлены коэффициенты. После нахождения одной переменной подстановка возвращает тебя к исходной системе и помогает вычислить вторую. Заверши решение проверкой обоих равенств.
Условие: решите систему 2x + y = 7, 2x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому при сложении слагаемые y и −y исчезнут. Получится уравнение только с x.
Проверка: 2 · 2 + 3 = 7 и 2 · 2 − 3 = 1. Оба равенства верны. Ответ: x = 2, y = 3.
Условие: решите систему 3x + 2y = 12, 5x − 2y = 4. При сложении 2y и −2y уничтожатся, поэтому отдельно изменять уравнения не нужно. После сложения останется уравнение с x.
Проверка: 3 · 2 + 2 · 3 = 12, а 5 · 2 − 2 · 3 = 4. Пара подходит обоим уравнениям. Ответ: x = 2, y = 3.
Условие: решите систему 2x + 3y = 13, 5x − 2y = 4. Коэффициенты при y равны 3 и −2, поэтому они пока не уничтожатся при сложении. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: получим коэффициенты 6 и −6 при y.
Проверка: 2 · 2 + 3 · 3 = 13 и 5 · 2 − 2 · 3 = 4. Оба равенства выполняются. Ответ: x = 2, y = 3.
При сложении иногда складывают только коэффициенты при переменных, а числа справа оставляют как были. Но уравнения складывают почленно целиком: складываются и левые части, и правые. Проверь запись, поставив действие между всеми частями равенств, например (левая часть первого) + (левая часть второго) = (правая часть первого) + (правая часть второго).
При умножении уравнения на число можно случайно умножить только коэффициенты при x и y. Тогда равенство нарушится, потому что свободный член тоже является частью уравнения. Перед сложением проверь каждое слагаемое: все члены слева и число справа должны быть умножены на один и тот же множитель.
Если коэффициенты при переменной равны, их сложение не исключит её: например, 4x + 4x = 8x. Чтобы получить ноль, в этом случае вычитай уравнения; складывай, когда коэффициенты противоположны. Проверка простая: выпиши сумму или разность коэффициентов и убедись, что она равна нулю.
Пропуск проверки может оставить незамеченной ошибку в знаке или вычислении. Полученная пара должна превратить оба исходных равенства в верные числовые равенства, а не только одно. Подставь x и y в каждое уравнение отдельно; если какое-либо равенство неверно, пересчитай решение.
Для метода нужны навыки решения линейных уравнений и преобразования равенств, в частности умножения обеих частей на ненулевое число. Он применяется к системам линейных уравнений с двумя переменными, где решение — пара чисел, подходящая обоим уравнениям. Этот способ помогает решать текстовые задачи, которые сводятся к системам, и служит основой для изучения других способов их решения.
Как понять, какое уравнение нужно умножить?
Сначала выбери переменную, которую удобнее исключить, и сравни её коэффициенты в двух уравнениях. Если они уже противоположны или равны, умножать не нужно. Иначе подбери множитель, чтобы после умножения коэффициенты стали противоположными.
Можно ли умножить оба уравнения системы на разные числа?
Да, каждое уравнение можно умножить на своё ненулевое число. Нужно умножить на него все слагаемые, включая число в правой части. Такое преобразование не меняет решений системы.
Что делать, если после сложения переменная не исключилась?
Проверь, были ли коэффициенты при этой переменной противоположными. Если нет, сложение не уберёт её: подбери нужные множители или вычти уравнения, когда коэффициенты равны.
Почему при равных коэффициентах уравнения вычитают, а не складывают?
При вычитании одинаковые слагаемые с выбранной переменной становятся нулём: например, 3x − 3x = 0. При сложении они удвоились бы, поэтому переменная не исчезла бы.
Обязательно ли проверять найденную пару в обоих уравнениях?
Да. Решением системы должна быть пара, которая подходит сразу к обоим исходным уравнениям. Проверка помогает обнаружить ошибку в вычислениях или подстановке.
§ 15. Метод алгебраического сложения
