"Алгебра", Мордкович А.Г.
Метод алгебраического сложения помогает решать системы линейных уравнений с двумя переменными. Уравнения преобразуют так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными: при сложении эта переменная исчезает. Затем решают уравнение с оставшейся переменной, находят вторую подстановкой и проверяют пару в обоих исходных уравнениях. Главное — правильно умножать все члены уравнения и следить за знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод алгебраического сложения — способ решения системы уравнений, при котором уравнения преобразуют так, чтобы при сложении исключить одну из переменных. Исключить переменную значит убрать её из уравнения, с которым дальше работают. Метод нужен, когда удобно получить уравнение только с одной неизвестной.
Коэффициенты при переменной — числа, на которые умножаются переменные в уравнении. Например, в записи 3x + 2y = 8 коэффициенты при x и y равны 3 и 2. Для сложения выбирают переменную, коэффициенты которой можно сделать противоположными, потому что тогда её слагаемые взаимно уничтожатся.
Равносильная система — система, имеющая те же решения, что и исходная. Умножение уравнения на ненулевое число сохраняет равносильность, если умножить на него каждый член уравнения. Это позволяет менять коэффициенты, не теряя правильных решений.
Решение системы — пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Например, числа x = 3 и y = 1 должны подходить сразу к обоим уравнениям. Поэтому ответом служит пара, а не значение только одной переменной.
При сложении уравнений складывают левые части между собой и правые части между собой. Если коэффициенты при выбранной переменной противоположны, её слагаемые дают ноль: например, 2y + (−2y) = 0. Поэтому вместо двух неизвестных остаётся уравнение с одной, которое проще решить. Именно ради такого сокращения выбирают, какие уравнения складывать.
Если нужные коэффициенты пока не противоположны, одно или оба уравнения умножают на подходящие ненулевые числа. Подбирают множители так, чтобы после умножения коэффициенты стали одинаковыми по величине, но разными по знаку: например, 3 и −3. Ненулевой множитель сохраняет равенство, если применить его ко всем членам уравнения. Удобно сначала посмотреть, можно ли изменить только одно уравнение: так вычислений будет меньше.
Когда одна переменная исчезла, решают получившееся уравнение с одной переменной. Например, из 5x = 15 находят x = 3, разделив обе части на 5. Это значение называют найденным значением исключённой переменной. Но решение системы пока не закончено: нужно определить и вторую переменную.
Чтобы найти вторую переменную, найденное число подставляют в одно из исходных уравнений. Из получившегося равенства вычисляют неизвестную переменную; можно выбрать любое уравнение, потому что оба должны выполняться для решения системы. Часто выбирают то уравнение, в котором подстановка даёт более простые вычисления. Затем записывают значения обеих переменных вместе.
В конце подставляют полученную пару в оба исходных уравнения. Проверка нужна, потому что при умножении и сложении легко ошибиться со знаком или вычислением. Если оба равенства верны, пара действительно является решением системы. Если одно из них неверно, нужно вернуться к преобразованиям и найти ошибку.
Таблица показывает, в каком порядке выполнять действия и какую задачу решает каждый шаг. Иди сверху вниз: тогда исключение переменной приведёт к нахождению обеих неизвестных, а не только одной. После последнего шага проверь подстановкой оба исходных уравнения.
| Шаг | Действие | Зачем это нужно |
|---|---|---|
| Выбор переменной для исключения | Сравнить коэффициенты при x и y и выбрать более удобную переменную. | Чтобы упростить преобразования и сложение. |
| Подбор множителей для уравнений | При необходимости умножить уравнение или уравнения на ненулевые числа. | Чтобы коэффициенты выбранной переменной стали противоположными. |
| Сложение уравнений | Сложить левые части и отдельно сложить правые части. | Чтобы выбранная переменная исчезла. |
| Нахождение исключённой переменной | Решить уравнение с одной переменной. | Чтобы получить первое значение для ответа. |
| Подстановка и проверка пары | Найти вторую переменную и подставить пару в оба исходных уравнения. | Чтобы записать и проверить решение системы. |
Решить систему: 2x + y = 7; 3x − y = 8. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому эту переменную можно исключить сразу. После сложения найдём x, а затем подставим его в одно из исходных уравнений.
Складываем уравнения почленно: (2x + y) + (3x − y) = 7 + 8. Слагаемые y и −y дают ноль, поэтому получаем 5x = 15.
Решаем уравнение: x = 3. Подставляем это значение, например, в 2x + y = 7: 6 + y = 7, значит, y = 1.
Проверяем пару: 2 · 3 + 1 = 7 и 3 · 3 − 1 = 8. Оба равенства верны.
Ответ: (3; 1).
Решить систему: x + 2y = 7; 3x + y = 11. Коэффициенты при y равны 2 и 1, поэтому при простом сложении эта переменная не исчезнет. Умножим второе уравнение на −2: коэффициент при y станет −2, то есть противоположным коэффициенту 2 в первом уравнении.
Умножаем каждый член второго уравнения на −2: −6x − 2y = −22. Первое уравнение оставляем без изменений, чтобы не выполнять лишние действия.
Складываем: (x + 2y) + (−6x − 2y) = 7 − 22. Переменная y исчезает, получаем −5x = −15, откуда x = 3.
Подставляем x = 3 в первое уравнение: 3 + 2y = 7, значит, 2y = 4 и y = 2. Проверка: 3 + 2 · 2 = 7; 3 · 3 + 2 = 11.
Ответ: (3; 2).
Решить систему: 2x + 3y = 13; 3x − 2y = 0. При выборе y коэффициенты 3 и −2 не противоположны, но их удобно привести к 6 и −6. Первое уравнение умножим на 2, а второе — на 3; так y исчезнет при сложении.
Умножаем первое уравнение на 2: 4x + 6y = 26. Второе уравнение умножаем на 3: 9x − 6y = 0; каждый член в обоих уравнениях умножен на свой множитель.
Складываем полученные уравнения: 4x + 9x = 26 + 0, поэтому 13x = 26 и x = 2. Коэффициенты при y дали 6y − 6y = 0.
Подставляем x = 2 в первое исходное уравнение: 4 + 3y = 13, откуда y = 3. Проверяем: 2 · 2 + 3 · 3 = 13; 3 · 2 − 2 · 3 = 0.
Ответ: (2; 3).
Складывают уравнения, хотя коэффициенты при выбранной переменной не противоположны. Так происходит, если ученик принимает любое сложение за достаточное: переменная в этом случае останется. Перед сложением проверь знаки и значения коэффициентов; если они не противоположны, сначала измени уравнения умножением на ненулевые числа.
При умножении уравнения на число умножают не все его слагаемые. Часто перемножают только коэффициент при переменной и забывают свободный член, хотя равенство изменяется целиком. Проверь каждый член по очереди: если 3x + y = 5 умножается на 2, получится 6x + 2y = 10.
При сложении теряют знак или неверно складывают коэффициенты. Ошибиться легче, если сразу пытаться сложить длинные выражения целиком. Запиши рядом коэффициенты при x, при y и свободные члены, затем сложи каждую группу отдельно; проверь, что противоположные коэффициенты действительно дали ноль.
Записывают только одну переменную или не проверяют пару. Обычно это происходит, когда найденное уравнение с одной неизвестной принимают за окончательный ответ. После нахождения первой переменной подставь её в исходное уравнение, запиши обе координаты и проверь равенства в обоих уравнениях.
Перед применением метода нужно уметь решать линейные уравнения и преобразовывать равенства, в том числе умножать обе части на одно и то же ненулевое число. Также нужно понимать, что система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения, которые должны выполняться одновременно. Метод алгебраического сложения применяют для решения таких систем и задач, которые можно свести к ним. Поэтому умение составлять уравнения помогает использовать метод не только в вычислениях, но и в текстовых задачах.
Когда можно сразу складывать уравнения системы?
Сразу складывать уравнения можно, когда коэффициенты при одной и той же переменной противоположны. Например, коэффициенты 1 и −1 при y при сложении дают ноль, поэтому y исчезает.
Как выбрать переменную, которую удобнее исключить?
Посмотри на коэффициенты при x и y и выбери ту переменную, для которой проще получить противоположные числа. Часто достаточно умножить одно уравнение или удаётся обойтись без дополнительных преобразований.
Можно ли умножить только одно уравнение системы?
Да, можно умножить только одно уравнение на любое ненулевое число. Если этого достаточно, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали противоположными, второе уравнение менять не нужно.
Почему при умножении уравнения нужно умножать все его члены?
Уравнение сохраняет равенство, только если обе его части умножить на одно и то же число. Поэтому умножают каждый член, в том числе свободное число; иначе получится уже другое, неравносильное уравнение.
Обязательно ли проверять найденную пару в обоих уравнениях?
Да, подстановка в оба исходных уравнения подтверждает, что пара подходит всей системе. Если равенство нарушается хотя бы в одном уравнении, значит, в преобразованиях или вычислениях допущена ошибка.
§ 13. Метод алгебраического сложения
