"Алгебра", Мордкович А.Г.
Система двух линейных уравнений помогает описать ситуацию, в которой две неизвестные величины связаны сразу несколькими условиями. Переменные обозначают неизвестные, каждое условие переводят в отдельное уравнение, а затем уравнения объединяют фигурной скобкой. Решение системы — пара значений, подходящая обоим уравнениям. После вычислений обязательно проверяют смысл найденных чисел и формулируют ответ словами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это запись двух уравнений, в которых используются одни и те же переменные, например x и y, и оба равенства должны выполняться одновременно. Обычно систему обозначают фигурной скобкой. Она нужна, когда в задаче есть два неизвестных и несколько условий, связывающих их.
Решение системы — это пара значений переменных, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Например, пару (5; 3) нужно проверить сразу в обоих уравнениях, а не только в одном. Решение показывает, какие именно значения неизвестных подходят всей задаче.
Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью математических обозначений и соотношений. В ней слова задачи заменяются переменными, числами и уравнениями. Такая модель помогает отделить главное от второстепенного и найти неизвестные вычислением.
Сначала в условии выделяют неизвестные величины и выбирают для них обозначения. Например, x может означать число билетов первого вида, а y — число билетов второго вида. Нужно сразу записать единицы измерения и смысл переменных, потому что тогда легче понять, какие значения допустимы и что писать в ответе.
Каждое независимое условие переводят в отдельное уравнение, поскольку каждое сообщает свою связь между величинами. Если всего 10 билетов, то x + y = 10, а если их общая стоимость 960 рублей, то 120x + 80y = 960. Слова «всего», «вместе», «осталось» и «на столько-то больше» подсказывают, какое действие должно появиться в уравнении.
Полученные уравнения объединяют в систему, потому что условия относятся к одной и той же ситуации и должны выполняться одновременно. Одно уравнение может иметь много подходящих пар, но после добавления второго остаются только общие решения. Поэтому нельзя решать условия по отдельности и выбирать числа наугад.
После нахождения пары её подставляют в оба исходных уравнения. Затем проверяют смысл результата: расстояние и цена не могут быть отрицательными, а число предметов обычно должно быть целым. Если найденные числа не соответствуют реальной ситуации, значит, в обозначениях, уравнениях или вычислениях допущена ошибка.
В конце ответ записывают словами, а не только парой чисел. Нужно назвать каждую найденную величину и указать единицы измерения: например, «в первой коробке 11 карандашей, во второй — 7 карандашей». Такой ответ связывает математическое решение с вопросом исходной задачи.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Выбор переменных | Обозначить неизвестные величины | Смысл величин и единицы измерения |
| Перевод условий | Записать каждое условие уравнением | Соответствие уравнения словам задачи |
| Составление системы | Объединить уравнения фигурной скобкой | В системе должны быть учтены все условия |
| Проверка и интерпретация | Проверить пару в уравнениях и ответить на вопрос задачи | Допустимость значений в реальной ситуации |
Используйте таблицу как короткий маршрут решения текстовой задачи. Не переходите к следующему этапу, пока не объяснили смысл переменных и не перевели все условия. В конце проверяйте не только вычисления, но и соответствие ответа реальной ситуации.
В двух коробках 18 карандашей, причём в первой на 4 карандаша больше, чем во второй. Требуется узнать количество карандашей в каждой коробке. Обозначим числа карандашей, поэтому оба условия можно записать через x и y.
Пусть x — число карандашей в первой коробке, а y — во второй. Тогда сумма даёт x + y = 18, а условие о разности — x = y + 4.
Подставим второе выражение в первое: y + 4 + y = 18. Получаем 2y = 14, откуда y = 7, а x = 11.
Проверим: 11 + 7 = 18 и 11 − 7 = 4. Оба условия выполнены.
Ответ: в первой коробке 11 карандашей, во второй — 7 карандашей.
Билет первого вида стоит 120 рублей, второго — 80 рублей. За 10 билетов заплатили 960 рублей, поэтому нужно найти количество билетов каждого вида. Здесь неизвестны два количества, а условия задают общее число и общую стоимость.
Пусть x — число дорогих билетов, y — число билетов по 80 рублей. Система имеет вид: x + y = 10; 120x + 80y = 960.
Из первого уравнения y = 10 − x. Подставим это во второе: 120x + 80(10 − x) = 960, значит 40x = 160 и x = 4.
Тогда y = 10 − 4 = 6. Проверка стоимости: 4 · 120 + 6 · 80 = 960, а количество билетов равно 10.
Ответ: купили 4 билета по 120 рублей и 6 билетов по 80 рублей.
Велосипедист и пешеход вместе прошли 36 км, причём велосипедист прошёл на 24 км больше. Требуется определить расстояние каждого. Величины здесь уже измеряются в километрах, поэтому найденные числа должны быть неотрицательными.
Пусть x — путь велосипедиста, а y — путь пешехода. Тогда x + y = 36, а разность расстояний записывается как x − y = 24.
Сложим уравнения: 2x = 60, поэтому x = 30. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем y = 6.
Проверим сумму и разность: 30 + 6 = 36, 30 − 6 = 24. Значения положительны и соответствуют описанной ситуации.
Ответ: велосипедист прошёл 30 км, а пешеход — 6 км.
Не объясняют переменные. Если написать только x и y, непонятно, что означают найденные числа. Запишите смысл каждой буквы и единицы измерения до составления уравнений.
Учитывают одно условие вместо двух. Одного уравнения часто недостаточно, потому что оно оставляет много возможных пар. Проверьте, переведено ли в запись каждое независимое условие задачи.
Путают разность и отношение. «На 4 больше» означает прибавить 4 или получить разность 4, а «в 4 раза больше» означает умножить на 4. Для самопроверки перескажите формулу словами.
Проверяют только одно уравнение. Пара может подходить одному условию, но нарушать другое. Подставьте её в оба уравнения и убедитесь, что значения допустимы в реальной ситуации.
До этой темы нужно уметь обозначать неизвестные переменными, составлять и решать линейные уравнения, а также проверять результат подстановкой. Системы применяются в задачах на движение, покупки, совместную работу и другие ситуации с несколькими условиями. Далее эти модели помогут изучать способы решения систем линейных уравнений и их графическую интерпретацию.
Как понять, что в задаче нужно составить систему уравнений?
Систему составляют, если есть несколько неизвестных величин и несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Обычно двум неизвестным соответствуют два независимых условия.
Как выбрать, что обозначить переменными?
Переменными обозначают неизвестные величины, о которых спрашивается в задаче или через которые удобно выразить остальные данные. Сразу укажите смысл и единицы измерения каждой переменной.
Почему для двух неизвестных обычно составляют два уравнения?
Каждое независимое условие даёт связь между неизвестными, поэтому его записывают отдельным уравнением. Два уравнения позволяют учесть оба условия одновременно.
Как записать условие «на несколько больше» в виде уравнения?
Если одна величина на a больше другой, её записывают как x = y + a или x − y = a. Нельзя путать это с условием «в a раз больше», которое означает умножение: x = ay.
Зачем проверять решение системы в исходной задаче?
Проверка показывает, подходят ли найденные числа всем условиям, а не только одному уравнению. Кроме того, значения должны иметь смысл: например, количество предметов не бывает отрицательным или дробным.
§ 14. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций
