§ 40. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Определения и обозначения

Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью переменных, равенств и других математических условий. Например, стоимость покупки можно выразить через количество товаров и их цены. Модель помогает заменить длинное условие задачи точными математическими связями.

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где переменные входят только в первой степени. Буквы a, b и c обозначают известные числа, а x и y — неизвестные величины. Такое уравнение связывает два неизвестных параметра.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — два линейных уравнения, которые должны выполняться одновременно. Её записывают фигурной скобкой, чтобы показать общность условий. Система нужна, когда одна связь не позволяет однозначно найти две неизвестные величины.

Решение системы — пара значений переменных, одновременно удовлетворяющая обоим уравнениям системы. Порядок записи важен: пара (x; y) означает первое значение для x, второе — для y. В задаче эта пара должна иметь понятный реальный смысл.

Как это устроено

Сначала выберите неизвестные величины и обозначьте их, например x и y. Рядом запишите, что именно означает каждая переменная и в каких единицах она измеряется. Это нужно, чтобы не перепутать товары, скорости или массы и затем правильно истолковать ответ.

Затем разберите условие на отдельные факты и каждый факт переведите в математическую запись. Если всего было x и y предметов, появляется связь x + y = N; если известна стоимость, можно записать p₁x + p₂y = C. Для двух неизвестных обычно составляют два независимых уравнения, потому что одного условия недостаточно для однозначного определения обеих величин.

Решение системы описывает искомые величины не случайно: оно одновременно выполняет все переведённые из условия связи. Поэтому найденная пара отвечает сразу на вопрос задачи, а не является просто результатом алгебраических действий. Например, если x и y — количества билетов, то значения x и y показывают, сколько билетов каждого вида продали.

После решения подставьте найденные значения в левую и правую части обоих уравнений. Затем сравните результат с исходным условием: совпадают ли общее количество, стоимость, расстояние или масса. Такая двойная проверка обнаруживает вычислительные ошибки и неверно составленную модель.

Уравнения не отменяют обычные свойства реальных величин. Количество предметов обычно должно быть целым и неотрицательным, масса и расстояние — положительными, а единицы измерения — согласованными. Если в условии время дано в часах, скорость должна быть выражена в километрах в час, иначе формула s = vt даст неверный результат.

Построение системы по условиям реальной задачи

Сначала найдите в таблице тип своей задачи и выберите две неизвестные величины. Затем отдельно выпишите первое и второе условия, не смешивая их в одну запись. После решения переведите пару чисел обратно на язык задачи.

Разбор задач

Покупка билетов

В кассе продали 20 билетов: взрослые по 500 рублей и детские по 300 рублей. Выручка составила 8600 рублей. Нужно найти количества билетов каждого вида.

1. Обозначим через x число взрослых, а через y — число детских билетов.
2. По общему количеству получаем x + y = 20. По стоимости получаем 500x + 300y = 8600.
3. Из первого уравнения x = 20 − y. Подставим: 500(20 − y) + 300y = 8600, откуда 200y = 1400 и y = 7. Тогда x = 13.

Проверка: 13 + 7 = 20, а 13 · 500 + 7 · 300 = 8600. Ответ: продали 13 взрослых и 7 детских билетов.

Движение велосипедистов

Велосипедисты встретились через 2 часа, преодолев расстояние 72 км. Скорость одного на 6 км/ч больше скорости другого.

1. Пусть x и y — скорости велосипедистов, причём x больше y. За 2 часа они проехали 2x и 2y километров.
2. Сумма расстояний равна 72, поэтому 2x + 2y = 72, или x + y = 36. Разность скоростей даёт x − y = 6.
3. Сложим уравнения: 2x = 42, значит x = 21, а y = 15.

Проверка: 2 · 21 + 2 · 15 = 72, а 21 − 15 = 6. Ответ: скорости равны 21 км/ч и 15 км/ч.

Сплавы

Из сплавов с содержанием меди 30% и 70% нужно получить 40 кг сплава с содержанием меди 50%. Требуется определить массу каждого исходного сплава.

1. Пусть x — масса 30%-ного, а y — масса 70%-ного сплава. Тогда x + y = 40.
2. Масса меди в первом сплаве равна 0,3x, во втором — 0,7y, а в готовой смеси — 0,5 · 40 = 20 кг. Поэтому 0,3x + 0,7y = 20.
3. Из x = 40 − y получаем 0,3(40 − y) + 0,7y = 20, откуда 0,4y = 8 и y = 20. Значит, x = 20.

Обе массы положительны, их сумма равна 40 кг. Ответ: нужно взять по 20 кг каждого сплава.

Типичные ошибки

Не указан смысл переменных. Если записать только x и y, легко перепутать, какое число относится к взрослым билетам, а какое к детским. Записывайте обозначения словами и проверяйте ответ в том же порядке.

Уравнение составлено не по всему условию. Иногда используют отдельные числа, но забывают цену, скорость, массу или единицы измерения. Проверяйте, выражает ли каждое уравнение самостоятельную связь между величинами.

Решено только одно уравнение. Пара, найденная из одной связи, может удовлетворять ей, но нарушать второе условие. После вычислений подставьте значения в оба уравнения системы.

Не учтён смысл ответа. Формально могут получиться отрицательное количество товара или нецелое число билетов. Спросите себя, допустимы ли такие значения для исходной ситуации, и при необходимости вернитесь к составлению модели.

Связь с другими темами

Для составления и решения систем нужны свойства линейных уравнений, преобразование выражений и навыки решения уравнений с одной переменной. Графики линейных функций помогают увидеть решение системы как точку пересечения двух прямых.

Такие модели станут основой для систем неравенств и задач с параметрами. Они также применяются в физике и экономике, где описывают движение, смеси, расходы и стоимость.

Что запомнить

• Сначала определите неизвестные величины и их смысл.
• Каждое независимое условие обычно даёт отдельное уравнение.
• Система требует одновременного выполнения обоих уравнений.
• Решение системы — упорядоченная пара значений переменных.
• После решения системы необходимо сделать проверку.
• Ответ должен соответствовать смыслу и ограничениям исходной задачи.