"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Метод алгебраического сложения помогает решать системы линейных уравнений с двумя переменными. Уравнения преобразуют так, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными, а затем складывают или вычитают их. Эта переменная исчезает, и получается обычное уравнение с одной переменной. После его решения находят вторую переменную подстановкой и проверяют пару значений в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод алгебраического сложения — способ решения системы уравнений, при котором уравнения складывают или вычитают, чтобы исключить одну переменную. Он превращает систему с двумя неизвестными в более простое уравнение с одной неизвестной. Такой способ особенно удобен, когда коэффициенты уже подходят друг к другу.
Исключение переменной — получение уравнения с одной переменной за счёт сложения или вычитания уравнений с подходящими коэффициентами. Исчезнувшая переменная больше не мешает найти значение оставшейся. Затем её значение восстанавливают подстановкой.
Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении нужно выполнять только такие преобразования, которые не меняют множество решений. Поэтому умножение уравнения на ненулевое число допустимо.
Коэффициент при переменной — число, на которое умножена переменная в уравнении. Например, в равенстве 4x − 3y = 9 коэффициенты при x и y равны 4 и −3. Их подбирают так, чтобы после сложения или вычитания одна переменная исчезла.
Решение системы можно представить как поиск пары чисел, которая одновременно делает верными оба уравнения. Если такая пара превращает два равенства в верные числовые равенства, их левые и правые части можно сложить. Поэтому сумма или разность исходных уравнений тоже будет верной для искомой пары, хотя сама по себе она может содержать меньше переменных.
Сначала выбирают переменную для исключения. Обычно берут ту, чьи коэффициенты уже противоположны или равны, например 5 и −5 либо 2 и 2. Если подходящих коэффициентов нет, выбирают переменную, для которой проще получить такие числа: сравнивают небольшие множители и избегают лишних вычислений.
Чтобы подготовить коэффициенты, одно уравнение или оба умножают на ненулевые числа. Например, коэффициенты 2 и 3 можно превратить в 6 и 6, умножив первое уравнение на 3, а второе на 2. Нельзя умножать только один член: множитель должен относиться ко всей левой и правой части уравнения.
Когда коэффициенты стали противоположными, уравнения складывают: выражения вида 4x и −4x дают ноль. Если коэффициенты одинаковы, одно уравнение вычитают из другого, и одинаковые слагаемые также исчезают. После этого остаётся линейное уравнение с одной переменной, которое решают обычным способом.
Найденное значение подставляют в любое исходное уравнение, а не только в преобразованное. Так получают вторую переменную и составляют пару значений. В конце подставляют пару в оба исходных уравнения: две верные проверки подтверждают решение системы.
Таблица показывает общий порядок действий и смысл каждого шага. Ею удобно пользоваться как кратким алгоритмом во время решения. Если коэффициенты уже подходят, этап подготовки можно выполнить мысленно или пропустить.
| Этап | Что сделать | Зачем |
|---|---|---|
| Выбор переменной для исключения | Выбрать x или y, для которой проще получить подходящие коэффициенты. | Уменьшить число вычислений. |
| Подготовка коэффициентов умножением уравнений | Умножить одно или оба уравнения на ненулевые числа. | Сделать коэффициенты равными или противоположными. |
| Сложение или вычитание уравнений | Сложить уравнения при противоположных коэффициентах или вычесть при одинаковых. | Исключить выбранную переменную. |
| Нахождение второй переменной | Подставить найденное значение в исходное уравнение. | Получить полную пару решения. |
| Проверка пары значений | Подставить оба значения в каждое исходное уравнение. | Убедиться в отсутствии вычислительной ошибки. |
Решим систему x + y = 7 и x − y = 1. Коэффициенты при y равны 1 и −1, поэтому подготовка не нужна. Сложение сразу исключит y.
Ответ: x = 4, y = 3.
Рассмотрим систему 2x + 3y = 12 и 2x − y = 4. Коэффициенты при x одинаковы, поэтому выгодно вычесть второе уравнение из первого. Тогда x исчезнет без дополнительных множителей.
Ответ: x = 3, y = 2.
Пусть дана система 3x + 2y = 8 и 5x − 3y = 1. Удобно исключить y: коэффициенты 2 и −3 можно превратить в 6 и −6. Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе — на 2.
Ответ: x = 26/19, y = 37/19.
Складывают уравнения без подходящих коэффициентов. Переменная тогда обычно не исчезает, потому что её слагаемые не дают ноль. Перед действием проверьте знаки и модули коэффициентов.
Умножают не всё уравнение. Если множитель применён только к одному слагаемому, равенство меняется неверно. Раскройте умножение отдельно для каждого слагаемого слева и для правой части.
При вычитании забывают сменить знаки. Нужно вычитать всю вторую строку, поэтому знак меняется у каждого её слагаемого. Полезно заключить вычитаемое уравнение в скобки и только потом раскрыть их.
Не находят вторую переменную или не делают проверку. Одно найденное число ещё не является решением системы. Подставьте его в исходное уравнение, а затем проверьте обе координаты в обоих равенствах.
До изучения метода нужно уметь решать линейные уравнения с одной переменной и преобразовывать равенства. Эти навыки нужны при упрощении полученного уравнения и при подстановке.
Метод основан на свойствах равенств. Умножение уравнения на любое ненулевое число сохраняет его решения, поэтому такие преобразования приводят к равносильной системе.
Способ пригодится при решении систем линейных уравнений и текстовых задач. Например, по условию задачи можно составить два уравнения, а затем найти неизвестные алгебраическим сложением.
Почему можно складывать уравнения системы?
Если пара значений является решением системы, она превращает каждое уравнение в верное равенство. Верные равенства можно складывать почленно, поэтому после сложения получается уравнение, которому также удовлетворяет решение системы.
Как понять, какое уравнение и на какое число нужно умножить?
Сначала выберите переменную, которую хотите исключить. Сравните её коэффициенты и подберите такие ненулевые множители, чтобы после умножения коэффициенты стали равными по модулю, но имели противоположные знаки.
Когда уравнения лучше сложить, а когда вычесть?
Уравнения складывают, если коэффициенты выбранной переменной противоположны: например, 3 и −3. Вычитают, если коэффициенты одинаковы: например, 3 и 3.
Можно ли умножать уравнение на отрицательное число?
Да, можно умножать всё уравнение на любое ненулевое число, в том числе отрицательное. При этом меняются знаки всех слагаемых, а множество решений сохраняется.
Зачем проверять ответ в обоих исходных уравнениях?
Проверка показывает, не допущена ли ошибка при умножении, сложении, вычитании или подстановке. Пара является решением системы только тогда, когда подходит сразу к обоим исходным уравнениям.
§39. Метод алгебраического сложения
