§38. Метод подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений — совокупность уравнений с общими переменными, решения которых должны удовлетворять каждому уравнению. Например, в системе из двух уравнений переменные x и y должны иметь одни и те же значения в обоих равенствах. Это понятие нужно, чтобы искать не отдельные ответы для каждого уравнения, а согласованные значения сразу для всей системы.

Решение системы уравнений — такая пара значений переменных, которая одновременно обращает все уравнения системы в верные равенства. Если найдено x = 5 и y = 3, то эта пара подходит лишь тогда, когда при подстановке выполняются оба равенства. Понятие решения помогает точно сформулировать, что именно требуется найти и что нужно проверить в конце.

Метод подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение во второе уравнение. Так вместо двух переменных в одном уравнении остаётся одна, и задачу можно решить знакомыми действиями. Метод особенно удобен, когда переменную легко выразить, например, её коэффициент равен 1.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При решении важно переходить от исходной системы к равносильной, чтобы не потерять правильные пары и не добавить лишние. Это понятие объясняет, почему допустимы привычные преобразования уравнений, если их выполняют корректно.

Как это устроено

Сначала выбирают уравнение и переменную, которую будет удобно выразить. Обычно ищут переменную с коэффициентом 1 или −1: тогда не приходится делить на число и легче следить за знаками. Если такого случая нет, выразить переменную всё равно можно, но могут появиться дроби. Удобный выбор не меняет множество решений, а только делает вычисления проще.

После выражения одну переменную заменяют полученным выражением во втором уравнении. Поскольку обе части исходной системы должны выполняться одновременно, найденная пара обязана удовлетворять и этому уравнению. Поэтому после замены в нём остаётся только одна переменная, а система превращается в обычное уравнение. Скобки при подстановке показывают, что заменяется вся переменная вместе со всем её выражением.

Решив уравнение с одной переменной, мы находим только часть ответа: значение второй переменной ещё неизвестно. Чтобы вычислить её, подставляют найденное число в выражение, полученное на первом шаге. Например, если x выражен через y, сначала находят y, а затем возвращаются к формуле для x. Без обратной подстановки получится неполный ответ, а не пара значений.

Преобразования должны сохранять равносильность, то есть не менять решения системы. Можно переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя знак, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Также обе части можно делить на один и тот же ненулевой коэффициент. Если разделить на ноль, действие будет недопустимым, поэтому перед делением проверяют, что коэффициент не равен нулю.

В конце найденную пару подставляют в оба исходных уравнения, а не только в то, которое получилось после преобразований. Такая проверка обнаруживает ошибки в знаках, раскрытии скобок и вычислениях. Если оба равенства верны, пара действительно является решением системы. Если хотя бы одно равенство неверно, нужно найти и исправить ошибку в ходе решения.

Алгоритм решения системы методом подстановки

Пользуйся таблицей по порядку: каждый этап готовит данные для следующего. Не останавливайся после нахождения первой переменной — решение системы должно содержать пару. Проверка в конце относится именно к исходным уравнениям.

Разбор задач

1. Решить систему: x = y + 2; x + y = 8

Первая переменная уже выражена через вторую, поэтому дополнительное преобразование не требуется. Подставим вместо x выражение y + 2 во второе уравнение. Сначала найдём y, а затем вернёмся к первому равенству.

1. Подстановка: (y + 2) + y = 8.
2. Приведём подобные: 2y + 2 = 8, значит 2y = 6 и y = 3.
3. Найдём x: x = 3 + 2 = 5.
4. Проверка: 5 = 3 + 2 и 5 + 3 = 8.

Оба исходных равенства верны. Ответ: (x; y) = (5; 3).

2. Решить систему: 3x + 2y = 16; x − y = 2

Во втором уравнении коэффициент при x равен 1, поэтому выразить x особенно просто. Это позволит не делить на число и уменьшит вероятность арифметической ошибки. Подставим найденное выражение в первое уравнение.

1. Из x − y = 2 получаем x = y + 2.
2. Подставим: 3(y + 2) + 2y = 16. Скобки нужны, потому что на всю сумму y + 2 умножается число 3.
3. Раскроем скобки: 3y + 6 + 2y = 16, откуда 5y = 10 и y = 2.
4. Найдём x: x = 2 + 2 = 4. Проверка: 3 · 4 + 2 · 2 = 16; 4 − 2 = 2.

Пара удовлетворяет обоим уравнениям. Ответ: (x; y) = (4; 2).

3. Решить систему: 5x − 2y = 4; 3x + 4y = 18

Выразим y из первого уравнения. При переносе слагаемого 5x важно изменить его знак, а при делении на −2 внимательно разделить каждый член правой части. Получится дробное выражение, поэтому при подстановке сохраним его в скобках.

1. Из 5x − 2y = 4 получаем −2y = 4 − 5x, значит y = (5x − 4) / 2.
2. Подставим во второе уравнение: 3x + 4 · ((5x − 4) / 2) = 18.
3. Упростим: 3x + 2(5x − 4) = 18, затем 3x + 10x − 8 = 18. Значит, 13x = 26 и x = 2.
4. Найдём y: y = (5 · 2 − 4) / 2 = 3. Проверка: 5 · 2 − 2 · 3 = 4; 3 · 2 + 4 · 3 = 18.

Проверка подтверждает оба равенства. Ответ: (x; y) = (2; 3).

Типичные ошибки

• При выражении переменной ошибаются в знаке перенесённого слагаемого. Обычно так происходит, когда знак меняют не у всего слагаемого или не проверяют полученное равенство. Подставь выражение обратно в уравнение, из которого его вывел: равенство должно восстановиться.
• Подставляют выражение без скобок, поэтому неверно раскрывают знак минус или умножают только на часть суммы. Такая ошибка возникает, когда забывают, что заменяется переменная целиком. Перед вычислениями заключи выражение в скобки и проверь, к чему относится каждый знак и множитель.
• После нахождения одной переменной не вычисляют вторую и записывают только одно число. Это происходит, если принять промежуточный результат за полный ответ. Вернись к формуле первого шага и подставь найденное значение, чтобы получить пару.
• Проверяют ответ лишь в преобразованном уравнении, а не в исходной системе. Преобразования или вычисления могли содержать ошибку, поэтому такая проверка недостаточна. Подставь обе координаты по очереди в каждое исходное уравнение и убедись, что оба равенства верны.

Связь с другими темами

Для метода подстановки нужны навыки решения линейных уравнений, переноса слагаемых, раскрытия скобок и действий с дробями. Затем этот способ пригодится при решении систем линейных уравнений и текстовых задач, где одну ситуацию описывают несколькими уравнениями. Его можно сравнивать с методом сложения: оба способа решают систему, но используют разные преобразования. На графике решение системы соответствует точке пересечения графиков двух уравнений.

Что запомнить

• При методе подстановки одну переменную выражают через другую.
• Полученное выражение подставляют во второе уравнение системы.
• После подстановки получают уравнение с одной переменной.
• Найденное значение используют для определения второй переменной.
• Все преобразования должны сохранять равносильность системы.
• Ответ системы записывают парой значений переменных.
• Решение необходимо проверить в обоих исходных уравнениях.