"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Множество — это совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Оно помогает описывать числа и другие объекты по общему свойству, а затем сравнивать получившиеся группы. Множество можно задать перечислением элементов или указать, каким свойством они обладают. Записи x ∈ A и x ∉ A показывают, принадлежит ли объект множеству A, а A ⊂ B означает, что каждый элемент A есть в B. Порядок записи элементов не важен; пустое множество обозначают ∅.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Множество — совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Множества обычно обозначают заглавными буквами, например A или B, а их элементы записывают в фигурных скобках. Множество можно задать перечислением элементов или описанием общего для них свойства. Это понятие помогает собирать объекты в группы и рассуждать сразу обо всей группе.
Элемент множества — объект, который входит в данное множество. Запись x ∈ A читают «x принадлежит A», а запись x ∉ A — «x не принадлежит A». Буква x здесь обозначает объект, а A — множество. Эти знаки позволяют коротко и точно сообщить результат проверки.
Подмножество — множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству. Запись A ⊂ B означает, что A является подмножеством B. Чтобы такая запись была верной, должны подойти все элементы A, а не только некоторые из них. Понятие помогает сравнивать множества по их составу.
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают символом ∅. Например, множество натуральных чисел, которые меньше 1, пусто, если натуральный ряд начинается с 1. Такой символ удобен, когда условию не удовлетворяет ни один объект.
Множество задают перечислением, когда его элементы можно удобно записать все подряд, например {2, 4, 6}. Если элементов много или их можно описать правилом, указывают общее свойство: например, чётные натуральные числа. Способ задания должен позволять решить, относится ли конкретный объект к множеству. Иначе нельзя будет однозначно определить ни его состав, ни принадлежность элементов.
Чтобы проверить принадлежность, сравнивают объект с условием, которым задано множество, или ищут его среди перечисленных элементов. Если условие выполнено, записывают x ∈ A; если нет — x ∉ A. Эти символы описывают отношение отдельного объекта к множеству. Поэтому сначала нужно понять, что именно обозначает множество, а затем проверить объект по его правилу.
Включение A ⊂ B проверяют не по названию или внешнему виду множеств, а по их элементам. Берут каждый элемент A и выясняют, принадлежит ли он B. Если хотя бы один элемент не входит в B, включение неверно; если подходят все, A — подмножество B. Проверять нужно весь состав меньшего множества, потому что условие включения относится к каждому его элементу.
Два множества равны, если в них входят одни и те же элементы. Поэтому записи {1, 2, 3} и {3, 2, 1} равны: порядок перечисления не меняет состав. Повтор элемента тоже не добавляет нового объекта, так что {1, 1, 2} и {1, 2} задают одно множество. А если хотя бы один элемент есть только в одном из множеств, множества различны.
Пустое множество является подмножеством любого множества, потому что в нём нет элементов, нарушающих условие включения. Чтобы опровергнуть включение, нужно найти элемент меньшего множества, которого нет в большем. У пустого множества такой элемент найти невозможно. Поэтому запись ∅ ⊂ A верна и для пустого, и для непустого A.
| Понятие или отношение | Обозначение | Что означает | Пример |
|---|---|---|---|
| Множество | A = {1, 2, 3} | Совокупность указанных элементов | A = {1, 2} |
| Элемент принадлежит множеству | x ∈ A | x входит в A | 2 ∈ {1, 2, 3} |
| Элемент не принадлежит множеству | x ∉ A | x не входит в A | 4 ∉ {1, 2, 3} |
| Одно множество включено в другое | A ⊂ B | Каждый элемент A принадлежит B | {1, 2} ⊂ {1, 2, 3} |
| Множества равны | A = B | Состав элементов у A и B одинаков | {1, 2} = {2, 1} |
| Пустое множество | ∅ | Множество без элементов | ∅ ⊂ {1, 2} |
Сначала определите, что сравнивается: отдельный объект с множеством или одно множество с другим. Для первого случая подходят знаки ∈ и ∉, для второго — ⊂ или знак равенства. В примерах справа можно проверить смысл каждого обозначения.
Задача 1. Запишите множество натуральных чисел, меньших 5, перечислением и укажите, принадлежат ли ему числа 3 и 5. Будем считать, что натуральные числа начинаются с 1. Сначала выпишем все числа, которые одновременно натуральные и меньше 5, а затем отдельно проверим оба предложенных числа.
Ответ: A = {1, 2, 3, 4}; 3 ∈ A, 5 ∉ A. Здесь важно не включить число 5: условие требует числа, строго меньшие 5. Записи с ∈ и ∉ фиксируют результаты проверки принадлежности.
Задача 2. Даны A = {1, 2, 3} и B = {3, 2, 1}. Определите, равны ли множества. Сравним именно их состав, а не вид записей: элементы в них перечислены в разном порядке. Для равенства каждый элемент A должен быть в B и каждый элемент B — в A.
Ответ: A = B. Перестановка элементов не создаёт нового множества. Если бы хотя бы одно число встречалось только в одном из двух множеств, равенства не было бы.
Задача 3. Даны A = {2, 4} и B = {1, 2, 3, 4, 5}. Проверьте, является ли A подмножеством B, и обоснуйте ответ. Для этого нельзя ограничиться проверкой одного числа: условие включения требует, чтобы в B нашёлся каждый элемент A. Переберём оба элемента меньшего множества.
Ответ: A ⊂ B. Обоснование состоит в проверке каждого элемента A. Если бы, например, числа 4 не было в B, одного этого факта хватило бы, чтобы заключить, что A не является подмножеством B.
Иногда множества считают разными из-за разного порядка элементов: например, {1, 2, 3} и {3, 2, 1}. Так происходит, если воспринимать запись как упорядоченный список, но для множества важен только состав. Проверяйте, можно ли найти элемент, который есть в одном множестве и отсутствует в другом. Если таких элементов нет, множества равны.
Знаки ∈ и ⊂ могут перепутать, потому что оба связаны с принадлежностью. Но x ∈ A относится к объекту x и множеству A, а A ⊂ B — к двум множествам. Перед записью проверьте, что стоит слева от знака: один элемент или целое множество. Если слева перечислены фигурные скобки, обычно речь идёт о включении множеств.
Повторяющийся элемент иногда принимают за новый элемент множества. Это происходит, когда забывают, что множество описывает состав объектов, а не число повторов в записи. Например, {1, 1, 2} и {1, 2} равны. Для самопроверки уберите повторы и сравните оставшиеся элементы.
Можно ошибочно решить, что ∅ не является подмножеством непустого множества. Такое сомнение возникает, если при проверке включения ждут, что в меньшем множестве обязательно должен быть хотя бы один элемент. Однако условие требует лишь отсутствия элементов, которые не входят в большее множество. В ∅ таких элементов нет, поэтому ∅ ⊂ A для любого A.
Для работы с множествами полезно уметь сравнивать объекты по заданному свойству: именно так решают, какие объекты включать в группу. Буквенные обозначения помогают кратко записывать множество и рассуждения о его элементах. Позже эта идея понадобится при изучении числовых промежутков, где группируют числа на прямой. Она также используется при решении неравенств и операциях над множествами, когда множества объединяют или сравнивают по составу.
Можно ли задать множество не перечислением, а описанием?
Да, множество можно задать общим свойством его элементов. Например, множество натуральных чисел, меньших 5, состоит из чисел, для которых выполняется это условие. Описание должно позволять однозначно проверить любой объект.
Имеет ли значение порядок элементов при записи множества?
Нет, порядок перечисления не имеет значения. Записи {1, 2, 3} и {3, 2, 1} задают одно и то же множество, потому что их состав совпадает.
Чем отличаются обозначения ∈ и ⊂?
Знак ∈ связывает отдельный объект и множество: x ∈ A означает, что x — элемент A. Знак ⊂ связывает два множества: A ⊂ B означает, что каждый элемент A принадлежит B.
Как доказать, что одно множество является подмножеством другого?
Нужно проверить каждый элемент первого множества. Если каждый из них принадлежит второму множеству, то первое включено во второе: A ⊂ B. Достаточно найти один элемент A, которого нет в B, чтобы опровергнуть включение.
Почему пустое множество считается подмножеством любого множества?
В пустом множестве нет элементов, которые могли бы нарушить условие включения. Поэтому невозможно найти его элемент, не принадлежащий другому множеству. Значит, ∅ ⊂ A для любого множества A.
§37. Основные понятия
