"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Запись y = f(x) показывает зависимость: каждому допустимому значению x правило f ставит в соответствие ровно одно значение y. Переменную x называют аргументом, а результат применения правила обозначают f(x). Чтобы найти значение функции, подставляют заданное число вместо x и вычисляют. У функции есть область определения — допустимые аргументы, — и множество значений, то есть результаты. Функцию можно задать формулой, таблицей или описанием соответствия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — правило, которое каждому допустимому значению одной переменной ставит в соответствие единственное значение другой переменной. Например, правило «умножить число на 2 и вычесть 3» каждому разрешённому числу даёт один результат. Это понятие помогает точно описывать зависимости между величинами.
Аргумент функции — независимая переменная x, значение которой выбирают или задают. В выражении f(x) именно x подставляют в правило. Понимание роли аргумента позволяет отличать входное число от результата вычисления.
Значение функции — число y, которое соответствует выбранному значению аргумента; его обозначают f(x). Например, запись f(4) означает результат правила при аргументе 4. Это обозначение удобно, когда нужно указать не только результат, но и то, при каком аргументе он получен.
Запись y = f(x) показывает, что y зависит от x по заданному правилу f; буква f обозначает саму функцию. Например, если f(x) = 2x − 3, то y равен результату выражения 2x − 3. Такая запись отделяет правило от выбранного аргумента и от получившегося значения.
Чтобы зависимость называлась функцией, каждому допустимому x должно соответствовать ровно одно значение y. Если одному и тому же аргументу правило приписывает два разных результата, нельзя однозначно определить, чему равна функция при этом x. Поэтому единственность результата — главное условие, отличающее функцию от произвольной связи между величинами.
В записи y = f(x) буква x обозначает аргумент, f — правило, а f(x) — результат его применения. Переменная y равна этому результату, поэтому её значение определяется выбранным x. Например, при f(x) = 2x − 3 и x = 5 получаем f(5) = 7, а значит, y = 7.
Чтобы вычислить значение функции, вместо x подставляют заданное число, а затем выполняют действия по порядку. Если аргумент отрицательный, при подстановке полезно заключать его в скобки: так знаки не перепутаются. Например, для f(x) = 3x + 1 значение при x = −2 равно 3 · (−2) + 1 = −5.
Область определения — все значения x, для которых правило имеет смысл. Например, в выражении с дробью знаменатель не должен быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Множество значений — все числа y, которые получаются при допустимых аргументах; оно зависит и от правила, и от области определения.
Одну функцию можно задать формулой, таблицей или описанием соответствия. Формула показывает вычислительное правило, таблица перечисляет некоторые аргументы и их результаты, а описание словами объясняет, как одно значение связано с другим. В любом способе нужно знать, какие аргументы разрешены: без этого нельзя уверенно определить, где правило применимо.
| Обозначение | Что означает | Пример для f(x) = 2x − 3 |
|---|---|---|
| x | Аргумент функции | Выбранное значение аргумента |
| f | Обозначение функции, задающей правило | Правило: умножить на 2 и вычесть 3 |
| f(x) | Значение функции при аргументе x | 2x − 3 |
| y | Зависимая переменная, равная значению функции | y = f(x) |
Читайте обозначения слева направо: сначала выбирают аргумент x, затем применяют правило f и получают f(x). Переменная y обозначает тот же результат, поэтому её можно приравнять к f(x). В примере подстановка любого допустимого x в выражение 2x − 3 задаёт соответствующее значение y.
Для функции f(x) = 3x + 1 найдите f(2). Здесь задан аргумент 2, поэтому нужно выяснить, какой результат даёт правило при этом входном значении. В записи f(2) число 2 занимает место аргумента x.
Ответ: f(2) = 7. Проверка смысла записи: аргумент равен 2, а значение функции — 7.
Для функции g(x) = x² − 4 найдите g(−3) и укажите, чему равен аргумент в этой записи. Число внутри скобок — это выбранное значение x, а не результат функции. При возведении отрицательного числа в квадрат нужно учитывать, что квадрат числа −3 равен 9.
Ответ: аргумент равен −3, значение функции g(−3) равно 5. Скобки показывают, что в квадрат возводится всё отрицательное число.
Для функции h(x) = 1/(x − 2) укажите область определения и найдите h(4). Сначала проверим, при каких аргументах выражение существует, а затем подставим разрешённое значение. В дроби нельзя допускать нулевой знаменатель.
Ответ: область определения — все x, кроме 2; h(4) = 1/2. Значение 4 допустимо, так как знаменатель 4 − 2 не равен нулю.
Ошибка — считать f(x) произведением f и x. Её допускают, потому что запись со скобками внешне напоминает умножение, но здесь скобки обозначают значение функции при аргументе x. Проверь себя: если задано правило f(x) = 2x − 3, то f(4) находят подстановкой в правую часть, а не умножением букв f и x.
Можно перепутать аргумент x и значение функции f(x). Аргумент — число, которое подставляют, а значение — результат, поэтому они обычно не совпадают. Чтобы проверить себя, прочитай f(−3) словами: «значение функции при аргументе −3».
Иногда заданное число подставляют вместо y или f, хотя заменять нужно именно x. Такая ошибка возникает, когда не разобрано, какая буква обозначает входное значение. Перед вычислением подпиши: аргумент — это число из скобок, затем замени им каждое x в формуле.
Нельзя считать допустимыми все числа, не проверив формулу. Например, в знаменателе дроби не может стоять ноль, так как деление на ноль не определено. Для самопроверки найди ограничения правила до подстановки: реши, при каких значениях выражения в знаменателях или других частях формулы теряют смысл.
Для работы с функциями нужны навыки подстановки чисел вместо переменных и вычисления алгебраических выражений. Если эти действия знакомы, остаётся понять, какое число является аргументом и какой результат требуется найти. Понятие функции станет основой для изучения графиков, линейной и других функций.
Функции помогают описывать зависимости между величинами: например, как меняется одна величина при изменении другой. Формула, таблица и график могут показывать одну и ту же зависимость разными способами. Поэтому умение читать запись y = f(x) пригодится при переходе от вычислений к графикам и прикладным задачам.
Что означает запись f(x)?
f(x) обозначает значение функции f при аргументе x. Это результат применения правила f к числу x, а не произведение f на x.
Чем аргумент отличается от значения функции?
Аргумент x — число, которое подставляют в правило функции. Значение f(x) — результат вычисления по этому правилу.
Почему в записи y = f(x) переменная y называется зависимой?
Потому что значение y определяется выбранным значением x и правилом f. Изменится аргумент — может измениться и значение функции.
Как найти значение функции при заданном аргументе?
Нужно заменить x заданным числом и выполнить вычисления. Например, если f(x) = 3x + 1, то f(2) = 3 · 2 + 1 = 7.
Как определить, какие значения x входят в область определения?
Проверяют, при каких x правило имеет смысл. Например, в дроби знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому для 1/(x − 2) нельзя брать x = 2.
§36. Что означает в математике запись у = f(x)
