§ 14. Метод подстановки

Определения и обозначения

Система линейных уравнений с двумя переменными — это несколько уравнений, которые должны выполняться при одной и той же паре значений переменных. Например, в системе x + y = 7 и x − y = 1 значения x и y должны подходить сразу к обоим равенствам. Это понятие нужно, чтобы отличать решение всей системы от решения только одного уравнения.

Решение системы — пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Если пара (x; y) подходит первому уравнению, но не подходит второму, она не является решением системы. Поэтому в ответе указывают обе координаты, а не только найденное значение x или y.

Метод подстановки — способ решения системы, при котором выражение для одной переменной подставляют вместо неё в другое уравнение. Например, если из первого уравнения получилось y = 7 − x, то во втором уравнении вместо y пишут 7 − x. Это позволяет перейти от двух неизвестных к одной и решить обычное линейное уравнение.

Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении методом подстановки важно выполнять преобразования так, чтобы не потерять подходящую пару и не добавить лишнюю. Понятие равносильности помогает понять, почему после подстановки и преобразований ответ исходной задачи сохраняется.

Как это устроено

Чтобы применить метод, сначала из одного уравнения нужно получить запись x = … или y = …. Для этого можно перенести слагаемые и разделить обе части уравнения на коэффициент при выбранной переменной, если он не равен нулю. Такие действия сохраняют равенство: если одинаково преобразовать обе части, множество подходящих значений не изменится. Поэтому выраженная переменная остаётся связанной с другой тем же условием, что и в исходном уравнении.

Уравнение и переменную для выражения выбирают так, чтобы вычисления были проще. Особенно удобно, если коэффициент при переменной равен 1 или −1: делить не придётся, а при переносе нужно лишь внимательно учесть знак. Если коэффициент другой, сравни, на какое число придётся делить и появятся ли неудобные дроби. Удачный выбор не меняет ответ, но снижает вероятность арифметической ошибки.

Выражение подставляют в другое уравнение, потому что оно равно выбранной переменной. После замены в уравнении остаётся только одна переменная, а значит, его можно решить привычными преобразованиями. Например, вместо y в записи x − y = 1 можно поставить выражение, равное y. Подстановка сохраняет условие исходной системы: искомая пара должна удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

Решив полученное уравнение, находят значение переменной, которая осталась в нём. Затем это значение подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют вторую переменную. Так появляется полная пара чисел, например (x; y), а не отдельное значение. Порядок в записи важен: сначала указывают x, затем y.

Найденную пару нужно проверить в обоих исходных уравнениях. Подставь вместо переменных найденные числа и посчитай левую часть каждого равенства: она должна совпасть с правой. Проверка необходима, потому что при переносе слагаемого, делении или вычислениях можно допустить ошибку. Если равенство не выполняется, значит, нужно вернуться к вычислениям и найти неверный шаг.

Шаги решения системы методом подстановки

Пользуйся таблицей как порядком действий: не переходи к поиску второй переменной, пока не решено уравнение после подстановки. В конце обязательно проверь оба исходных равенства. Если проверка не проходит, вернись к тому шагу, где мог измениться знак или потеряться множитель.

Разбор задач

Задача 1

Решите систему: x + y = 7, x − y = 1. В первом уравнении удобно выразить y, потому что перед ним стоит коэффициент 1. Подстановка этого выражения во второе уравнение оставит только x.

1. Из x + y = 7 получаем y = 7 − x.
2. Подставляем вместо y во второе уравнение: x − (7 − x) = 1. Раскрываем скобки: x − 7 + x = 1, поэтому 2x = 8 и x = 4.
3. Находим y: y = 7 − 4 = 3. Проверяем: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.

Ответ: (4; 3). Оба равенства выполняются, значит, пара подходит системе. Здесь скобки при подстановке нужны, чтобы знак минус перед y повлиял на всё выражение 7 − x.

Задача 2

Решите систему: 2x + y = 8, x − 2y = −1. Во втором уравнении коэффициент при x равен 1, поэтому выразить x можно без деления. Затем подставим выражение в первое уравнение и найдём y.

1. Из x − 2y = −1 получаем x = 2y − 1.
2. Подставляем: 2(2y − 1) + y = 8. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 4y − 2 + y = 8, значит, 5y = 10 и y = 2.
3. Вычисляем x: x = 2 · 2 − 1 = 3. Проверяем: 2 · 3 + 2 = 8 и 3 − 2 · 2 = −1.

Ответ: (3; 2). Обрати внимание: подставляя выражение 2y − 1 вместо x, мы заменили x целиком, поэтому записали его в скобках. Проверка показывает, что пара подходит обоим уравнениям.

Задача 3

Решите систему: 3x − 2y = 4, 5x + 3y = 7. Здесь нет переменной с коэффициентом 1, поэтому выберем y в первом уравнении и разделим на коэффициент −2. После подстановки появится дробь, с которой можно работать обычным способом.

1. Из 3x − 2y = 4 получаем −2y = 4 − 3x, затем y = (3x − 4) / 2.
2. Подставляем во второе уравнение: 5x + 3(3x − 4) / 2 = 7. Умножаем обе части на 2: 10x + 9x − 12 = 14, откуда 19x = 26 и x = 26 / 19.
3. Находим y: y = (3 · 26 / 19 − 4) / 2 = 1 / 19. Проверяем: 3 · 26 / 19 − 2 / 19 = 4; 5 · 26 / 19 + 3 / 19 = 7.

Ответ: (26 / 19; 1 / 19). Дробные значения допустимы: решение системы не обязано состоять из целых чисел. Подстановка дроби и проверка показывают, что оба исходных равенства выполняются.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого или делении на коэффициент иногда меняют знак неправильно либо теряют множитель. Это происходит, когда выполняют несколько преобразований сразу и не записывают промежуточные строки. Проверяй каждый переход отдельно: подставь полученное выражение обратно в исходное уравнение и убедись, что равенство сохраняется.

Другая ошибка — подставить выражение не вместо выбранной переменной или заменить им только часть этой переменной. Обычно так случается, если не следить за буквами и скобками. Перед вычислениями отметь, какую именно переменную выразил, а затем замени каждое её вхождение в выбранном уравнении; при необходимости заключи выражение в скобки.

Иногда ученик находит значение одной переменной и останавливается. Но одно число не задаёт решение системы: в ответе нужна пара значений, иначе второе уравнение проверить нельзя. После решения уравнения вернись к выражению с первого шага, вычисли вторую переменную и запиши оба значения в правильном порядке.

Проверка только в одном уравнении не подтверждает, что пара решает систему целиком. Можно случайно получить число, подходящее одному равенству, но не другому. Подставь пару отдельно в оба исходных уравнения и проверь равенства; если хотя бы одно не выполняется, пересмотри вычисления и подстановку.

Связь с другими темами

Для метода подстановки нужны умения преобразовывать линейные уравнения: раскрывать скобки, переносить слагаемые и делить обе части на ненулевое число. Эти действия помогают выразить переменную и упростить уравнение после замены. Проверка решения опирается на умение подставлять значения переменных и вычислять, верно ли равенство.

Метод подстановки используют при решении систем линейных уравнений, а сами системы встречаются и в текстовых задачах. Например, с их помощью можно описать две связанные величины и найти их значения одновременно. Значит, умение составлять и решать систему связывает алгебраические преобразования с решением задач.

Что запомнить

• Вырази одну переменную через другую.
• Подставь выражение во второе уравнение.
• Реши полученное уравнение с одной переменной.
• Найди значение второй переменной.
• Запиши ответ как пару значений переменных.
• Проверь пару в обоих исходных уравнениях.