§ 12. Метод подстановки

Определения и обозначения

Система уравнений с двумя переменными — несколько уравнений, которые должны выполняться при одних и тех же значениях переменных. Например, если переменные обозначены x и y, числа для них должны подходить сразу ко всем уравнениям системы. Это понятие нужно, когда одна задача описывается сразу несколькими условиями.

Решение системы — пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Обычно пару записывают так: (x; y), соблюдая порядок переменных. Решением считается не отдельное число, а именно пара, потому что проверить нужно оба значения вместе.

Метод подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение в оставшееся уравнение. Так вместо двух переменных в уравнении остаётся одна. Этот метод нужен, чтобы свести систему к уравнению, которое уже можно решить известными способами.

Равносильные системы — системы, имеющие одни и те же решения. При решении важно выполнять преобразования, которые сохраняют решения, иначе можно потерять подходящую пару или получить лишнюю. Это понятие помогает понимать, почему переход от системы к уравнению с одной переменной допустим.

Как это устроено

В системе нужно найти два числа, но первое уравнение позволяет связать одну переменную с другой. Если, например, из него получается x = 7 − y, то любое подходящее значение y задаёт и значение x. Поэтому во втором уравнении можно заменить x выражением 7 − y: это не меняет условие, а только записывает его через одну переменную. После упрощения остаётся обычное уравнение, решение которого даёт одно из нужных значений.

Сначала выбирают уравнение и переменную, которые проще всего выразить. Особенно удобно, если коэффициент при переменной равен 1 или −1: тогда часто достаточно перенести остальные слагаемые, не деля на большое число. Например, из x + y = 7 легко получить x = 7 − y, а из −x + y = 2 — x = y − 2. Такой выбор сокращает вычисления и уменьшает вероятность ошибки со знаками.

Полученное выражение подставляют во второе уравнение вместо той переменной, которую выразили. Если x = 7 − y, то в уравнении 2x + y = 10 нужно заменить x во всех местах: получится 2(7 − y) + y = 10. Скобки показывают, что всё выражение умножается на коэффициент при x. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых решают уравнение с одной переменной.

Найденное значение подставляют в выражение с первого шага, чтобы вычислить вторую переменную. Например, если получилось y = 3, а x = 7 − y, то x = 7 − 3 = 4. Так находится пара, а не только одно число. Если при выражении переменной возникла дробь, её не нужно избегать: достаточно аккуратно выполнять действия и при необходимости избавиться от знаменателя умножением обеих частей уравнения.

В конце подставляют найденные числа в каждое исходное уравнение. Это нужно потому, что при вычислениях можно ошибиться, а решение системы обязано удовлетворять обоим условиям одновременно. Например, для пары (4; 3) проверяют отдельно равенство с x и y и второе равенство. Если оба верны, пару записывают в ответ; если нет, следует перепроверить преобразования и знаки.

Этапы решения системы методом подстановки

Пользуйся таблицей как маршрутом: переходи к следующему этапу, только когда выполнил предыдущий. На последнем этапе проверь оба уравнения, а не только то, в которое делалась подстановка. Если проверка не сходится, вернись к вычислениям и найди ошибку.

Разбор задач

Задача 1

Решить систему: x + y = 7, x − y = 1. В первом уравнении коэффициент при x равен 1, поэтому выразить x можно без деления. Подстановка такого выражения во второе уравнение оставит только y. После этого найдём x и проверим оба условия.

1. Из первого уравнения получаем x = 7 − y.
2. Подставляем выражение во второе: 7 − y − y = 1, значит 7 − 2y = 1.
3. Решаем: −2y = −6, поэтому y = 3. Тогда x = 7 − 3 = 4.
4. Проверяем: 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1.

Ответ: (4; 3). Оба исходных равенства верны, значит пара подходит системе.

Задача 2

Решить систему: 2x + y = 8, 3x − 2y = 5. Удобно выразить y из первого уравнения: её коэффициент уже равен 1. Во втором уравнении вместо y появится выражение с x, поэтому нужно внимательно раскрыть скобки, включая знак минус перед 2y.

1. Из 2x + y = 8 получаем y = 8 − 2x.
2. Подставляем во второе уравнение: 3x − 2(8 − 2x) = 5.
3. Раскрываем скобки: 3x − 16 + 4x = 5, откуда 7x = 21 и x = 3.
4. Находим y: y = 8 − 2 · 3 = 2. Проверяем: 2 · 3 + 2 = 8 и 3 · 3 − 2 · 2 = 5.

Ответ: (3; 2). При раскрытии скобок слагаемое −2x внутри скобок стало +4x, потому что его умножили на −2.

Задача 3

Решить систему: 3x + 2y = 4, 5x − 3y = 19. Ни один коэффициент здесь не равен 1 или −1, но можно выразить y из первого уравнения. Получится дробное выражение, поэтому при подстановке особенно важно сохранить скобки и не потерять знаменатель.

1. Из 3x + 2y = 4 получаем 2y = 4 − 3x, значит y = (4 − 3x) / 2.
2. Подставляем во второе уравнение: 5x − 3(4 − 3x) / 2 = 19.
3. Умножаем обе части на 2: 10x − 12 + 9x = 38. Тогда 19x = 50, откуда x = 50/19.
4. Находим y: y = (4 − 3 · 50/19) / 2 = −37/19.
5. Проверяем: 3 · 50/19 + 2 · (−37/19) = 4; 5 · 50/19 − 3 · (−37/19) = 19.

Ответ: (50/19; −37/19). Дробные значения допустимы: решением системы может быть любая пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого через знак равенства иногда забывают изменить его знак, а при делении — делят только часть выражения. Такая ошибка возникает, когда преобразование выполняют сразу в уме, не записывая промежуточный шаг. Проверяй каждое действие: при переносе меняется знак слагаемого, а делить нужно обе части равенства.

Бывает, что выражение подставляют не вместо той переменной или заменяют не все её вхождения. Например, если x = 7 − y, то нужно заменить каждый x, а не только первый встретившийся. Ошибка появляется из-за спешки или невнимательного чтения записи. Перед упрощением проверь, что новое выражение стоит на месте каждой выбранной переменной и заключено в скобки, если перед ней есть коэффициент.

После решения уравнения иногда записывают только найденное значение одной переменной и забывают вычислить вторую. Это происходит, если принять промежуточный результат за окончательный ответ. Система требует пару, поэтому после нахождения первого числа вернись к выражению с первого шага и найди второе.

Ещё одна ошибка — проверить пару только в одном уравнении или совсем пропустить проверку. Одно верное равенство не доказывает, что выполнено второе условие системы. Подставь оба числа по очереди в каждое исходное уравнение и убедись, что слева и справа получаются одинаковые значения.

Связь с другими темами

Для метода подстановки нужно уметь решать линейные уравнения и выражать одну переменную через другую. Без этих навыков будет трудно перейти от системы к уравнению с одной неизвестной. Полезно также помнить правила переноса слагаемых и раскрытия скобок.

Метод применяют для систем линейных уравнений, а также в текстовых задачах, которые сводятся к таким системам. Сначала условия задачи записывают с помощью переменных и уравнений, затем систему решают подстановкой. Полученную пару проверяют по смыслу задачи и по исходным уравнениям.

Решение опирается на понятие решения системы и на преобразования уравнений, которые сохраняют решения. При выражении переменной и подстановке мы не меняем значения, подходящие исходной системе, а лишь записываем условия иначе. Поэтому ответ нужно соотносить с обоими уравнениями.

Что запомнить

• Сначала вырази одну переменную через другую.
• Подставь выражение во второе уравнение.
• Реши полученное уравнение с одной переменной.
• Найди значение второй переменной.
• Запиши ответ в виде пары значений.
• Проверь пару в обоих исходных уравнениях.