§ 13. Основные понятия.  

Определения и обозначения

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — два уравнения, которые рассматривают одновременно и записывают фигурной скобкой. Обычно переменные обозначают x и y. Такая запись показывает, что нужно искать не отдельные ответы к каждому уравнению, а общую пару значений.

Решение системы — пара значений переменных, при подстановке которой оба уравнения системы становятся верными равенствами. Например, пара (2; 1) означает x = 2 и y = 1. Определение помогает отличить общий ответ системы от ответа, подходящего только к одному уравнению.

Решить систему — значит найти все её решения или установить, что решений нет. Иногда ответом будет одна пара, иногда — множество пар, а иногда подходящей пары не существует. Поэтому при решении нужно выяснять не только значения переменных, но и сколько ответов возможно.

Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. Их уравнения могут выглядеть по-разному, но приводить к одним и тем же подходящим парам. Это понятие нужно, чтобы понимать, когда преобразования системы не изменяют её ответ.

Как это устроено

Уравнения системы должны выполняться одновременно, потому что система описывает условия, которые относятся к одной и той же паре значений. Если пара подходит только к первому уравнению, она не удовлетворяет всем условиям задачи. Поэтому ответ проверяют в обоих уравнениях, а не выбирают два независимых значения из разных ответов. Даже если каждое уравнение по отдельности имеет много решений, системе подходят только общие для них варианты.

Решение записывают как упорядоченную пару (x; y): сначала указывают значение x, затем значение y. Порядок важен, потому что переменные могут играть разные роли и при перестановке чисел получится другая подстановка. Например, (2; 1) означает x = 2, y = 1, а (1; 2) означает уже x = 1, y = 2. Поэтому, выписывая ответ из вычислений или с графика, соотноси каждую координату с её переменной.

Каждое линейное уравнение с двумя переменными изображается прямой. Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют соответствующему уравнению: именно так уравнение связывается с его графиком. Если координаты точки подходят сразу к двум уравнениям, точка лежит на каждом из двух графиков. Значит, чтобы найти графическое решение системы, нужно отыскать общую точку прямых и записать её координаты в порядке (x; y).

Две прямые могут пересечься, быть параллельными или совпасть, и от этого зависит число общих точек. При пересечении есть одна общая точка, поэтому система имеет одно решение. Разные параллельные прямые не встречаются, значит, общей пары и решений нет. Совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек, поэтому система имеет бесконечно много решений.

Найденную пару проверяют подстановкой, потому что вид графика или вычислений сам по себе не исключает ошибки. В первом уравнении замени x и y соответствующими числами и проверь, получилось ли верное равенство; затем так же поступи со вторым. Если хотя бы одно равенство неверно, пара не является решением системы. Такая проверка подтверждает, что координаты действительно подходят одновременно к обоим условиям.

Взаимное расположение графиков и число решений системы

Сначала определи, как расположены прямые, затем найди в таблице соответствующее число общих точек. Общие точки графиков — это и есть решения системы, поэтому таблица позволяет определить число решений без нахождения конкретных координат. Учитывай, что параллельными здесь называются разные прямые.

Разбор задач

Проверка пары

Проверим, является ли пара (2; 1) решением системы x + y = 3, x − y = 1. Поскольку в записи пары сначала стоит значение x, подставляем x = 2 и y = 1. Нужно проверить оба уравнения: одного верного равенства недостаточно.

1. В первое уравнение подставим значения: 2 + 1 = 3. Получилось верное равенство.

2. Во второе уравнение подставим те же значения: 2 − 1 = 1. Это равенство тоже верно.

Оба условия выполнены одновременно, поэтому пара подходит системе. Если бы одно из равенств оказалось неверным, проверку пришлось бы завершить отрицательным ответом, даже при верном втором равенстве.

Ответ: да, пара (2; 1) является решением системы.

Графическое решение

Найдём решение системы y = x + 1, y = −x + 5 графическим способом. Каждое уравнение задаёт прямую, поэтому нужно построить оба графика в одной системе координат. Их общая точка даст значения x и y, которые одновременно удовлетворяют обоим равенствам.

1. Для прямой y = x + 1 возьмём, например, точки (0; 1) и (2; 3): подстановка x даёт указанные значения y. Отметим их на координатной плоскости и проведём через них прямую.

2. Для прямой y = −x + 5 возьмём точки (0; 5) и (2; 3). Отметим их и проведём вторую прямую на той же плоскости.

3. Прямые пересекаются в точке (2; 3). Проверим координаты: при x = 2 оба уравнения дают y = 3, значит, точка принадлежит обоим графикам.

Координаты общей точки записываем в порядке (x; y), а не наоборот. Пересечение в одной точке означает, что система имеет ровно одно решение.

Ответ: (2; 3).

Число решений без поиска пары

Определим число решений системы 2x + 2y = 6, x + y = 3, не находя значения x и y. Нужно сравнить уравнения: если они задают одну и ту же прямую, то у системы бесконечно много решений. Для этого достаточно увидеть, получается ли одно уравнение из другого допустимым преобразованием.

1. Умножим обе части второго уравнения на 2: из x + y = 3 получаем 2x + 2y = 6.

2. Полученное равенство полностью совпадает с первым уравнением системы. Следовательно, оба уравнения задают одну и ту же прямую, а не разные прямые.

3. У совпадающих прямых бесконечно много общих точек. Каждая такая точка соответствует паре, которая удовлетворяет обоим уравнениям.

Так можно выяснить число решений, не выбирая и не проверяя конкретную пару. Здесь любое преобразование одного уравнения в другое сохраняет множество его точек.

Ответ: бесконечно много решений.

Типичные ошибки

• Проверяют пару только в одном уравнении. Так делают, когда забывают, что система объединяет два условия для одной пары переменных. Проверяй подстановку отдельно в каждом уравнении: оба равенства должны оказаться верными.

• Записывают значения переменных в неверном порядке. При чтении пары легко переставить числа, особенно если ответ взят с координатного графика. В записи (x; y) первая координата относится к x, а вторая — к y; подставь их в уравнения, чтобы проверить себя.

• Принимают любую точку одного графика за решение. Такая точка подходит уравнению, график которого она принадлежит, но может не подходить второму уравнению. Убедись, что точка лежит на обоих графиках, или проверь её координаты в обоих уравнениях.

• Считают, что параллельные графики имеют решение. Это заблуждение возникает, если не различать близкие прямые и пересекающиеся прямые. Разные параллельные прямые не имеют общих точек, значит, у системы нет решений; проверь, не совпадают ли графики.

Связь с другими темами

Для работы с системами нужно знать, что такое линейное уравнение с двумя переменными и как строить его график. Это позволяет понимать, откуда берутся прямые и как читать координаты их общей точки. Далее понятие решения понадобится при изучении методов подстановки и сложения: эти способы помогают находить подходящую пару без построения графиков.

Системы также нужны для составления математических моделей задач с несколькими неизвестными. Каждое уравнение в такой модели выражает отдельное условие, а решение должно удовлетворять им всем одновременно. Поэтому умение проверять пару помогает убедиться, что найденный ответ подходит исходной ситуации.

Что запомнить

• Решение системы — пара значений переменных.
• Пара должна удовлетворять каждому уравнению системы.
• Графическое решение соответствует общей точке графиков.
• Пересекающиеся прямые дают одно решение.
• Параллельные прямые дают системе без решений.
• Совпадающие прямые соответствуют бесконечному числу решений.