§ 12. Упорядочение данных, таблицы распределения   

Определения и обозначения

Статистические данные — числовые результаты наблюдений или измерений. Они описывают значения какого-либо признака: например, можно записать рост учеников, число книг в семьях или результаты измерения температуры. Один и тот же набор чисел может описывать разные признаки, поэтому при работе нужно понимать, что именно измеряли. Это помогает правильно истолковать получившиеся результаты.

Упорядоченный ряд — данные, записанные по возрастанию или убыванию. Например, при порядке по возрастанию сначала ставят наименьшее значение, а затем остальные по величине. Каждое наблюдение сохраняют, в том числе повторяющиеся значения. Такой ряд нужен, чтобы легче находить крайние значения и видеть повторы.

Частота значения — число раз, которое это значение встречается в наборе данных. Если число 4 записано трижды, его частота равна 3. Частота показывает, насколько часто наблюдалось значение, а не величину самого значения. Она помогает сравнивать результаты наблюдений.

Таблица распределения данных — таблица, в которой перечислены различные значения признака и указаны их частоты. Одно значение в такой таблице записывают только один раз, даже если оно много раз встречается в наборе. Таблица нужна, чтобы компактно представить данные и сравнить, какие значения встречаются чаще.

Как это устроено

Сначала записывают исходные данные, полученные при наблюдениях или измерениях. На этом шаге важно перенести каждое значение без изменений: пропуск уменьшит число наблюдений, а случайная замена числа исказит результат. Удобно сразу пересчитать записи или сверить их с первоначальными заметками. Тогда последующие подсчёты будут основаны на верном списке.

Затем данные часто упорядочивают по возрастанию. Такой порядок появляется не случайно: среди разрозненных чисел трудно быстро найти крайнее значение, а в ряду оно сразу оказывается в начале или в конце. Повторы становятся заметнее, потому что одинаковые числа стоят рядом. Также проще увидеть промежутки между различными значениями.

Чтобы составить таблицу распределения, выписывают каждое различное значение по одному разу и подсчитывают его повторения. Сначала удобно просмотреть исходный список или упорядоченный ряд и отметить, какие значения уже встретились. Затем для каждого значения считают количество появлений. Так таблица не разрастается из-за повторов, но сохраняет информацию о них с помощью частот.

После подсчёта складывают все частоты и сравнивают сумму с количеством исходных данных. Эти числа должны совпасть, потому что каждое наблюдение относится ровно к одному значению и учитывается один раз. Если сумма меньше, вероятно, что-то пропущено; если больше — какое-то наблюдение могли посчитать повторно. Такая проверка помогает обнаружить ошибку до того, как таблицу будут использовать дальше.

Таблица распределения заменяет длинный список более короткой записью: вместо повторения одного числа несколько раз достаточно указать его значение и частоту. Благодаря этому удобнее сравнивать, какие результаты встречаются чаще, а какие реже. Сама таблица не меняет данные и не теряет повторы — она только показывает их другим способом. Поэтому при необходимости по ней можно восстановить количество наблюдений каждого значения.

Представление статистических данных

Сначала определите, какую запись требуется получить: упорядоченный ряд или таблицу распределения. В таблице читайте значение вместе с его частотой: первая часть показывает результат, вторая — число его повторений. Для контроля сложите частоты и сравните итог с количеством наблюдений.

Разбор задач

Задача 1. Упорядочить результаты измерений: 4, 2, 5, 2, 3, 4. Нужно получить ряд по возрастанию, не теряя повторяющиеся результаты. Числа 2 и 4 встречаются по два раза, поэтому в упорядоченной записи каждое из них должно остаться дважды.

1. Найдём наименьшее значение: это 2. В списке оно встречается два раза, поэтому записываем 2, 2.
2. Следующее по величине значение — 3. Оно встретилось один раз, значит, после двоек ставим одну тройку.
3. Далее идёт 4. Оно встречается дважды, поэтому записываем 4, 4.
4. Самое большое значение — 5; оно встречается один раз и ставится в конец.

Ответ: 2, 2, 3, 4, 4, 5. В ряду осталось шесть чисел, как и в исходном списке, значит, ни одно наблюдение не потеряли.

Задача 2. Для данных 1, 2, 1, 3, 2, 1 составить таблицу распределения. В таблицу нельзя переписывать все числа подряд: нужно выделить различные значения и подсчитать повторы каждого. Удобно перечислить их по возрастанию — 1, 2, 3.

1. Считаем единицы: число 1 встречается три раза, значит, его частота равна 3.
2. Считаем двойки: число 2 встречается два раза, поэтому его частота равна 2.
3. Считаем тройки: число 3 встречается один раз, частота равна 1.
4. Проверяем подсчёт: 3 + 2 + 1 = 6, а исходный список содержит шесть наблюдений.

Ответ: таблица содержит значения 1, 2, 3 с частотами 3, 2, 1 соответственно. Сумма частот совпала с количеством данных, значит, проверка пройдена.

Задача 3. По таблице частот значений 2, 3, 4 с частотами 5, 3, 2 восстановить объём набора и проверить запись данных. Объём набора — это общее число наблюдений. Для него не требуется заново перечислять числа: достаточно сложить частоты.

1. Складываем частоты: 5 + 3 + 2 = 10. Значит, в наборе всего десять наблюдений.
2. Чтобы восстановить список, записываем число 2 пять раз: 2, 2, 2, 2, 2.
3. Затем записываем число 3 три раза и число 4 два раза.
4. Пересчитываем полученные элементы: их должно быть десять, как показала сумма частот.

Ответ: объём набора равен 10; восстановленная запись: 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4. Частоты показывают, сколько раз повторить каждое значение.

Типичные ошибки

• Удаляют повторы при упорядочивании. Кажется, что одинаковые числа лишние, потому что они не добавляют новых значений. Но каждое повторение — отдельное наблюдение, поэтому в ряду должно остаться столько чисел, сколько было в исходном списке. Проверьте себя, пересчитав элементы до и после упорядочивания.
• Записывают одно значение в таблице несколько раз. Так бывает, если таблицу составляют как обычный список и не отделяют значение от частоты. Каждое различное значение указывают один раз, а повторы отражают числом в соседней графе. Проверьте, нет ли одинаковых значений в строках таблицы.
• Путают частоту со значением признака. Например, число 4 — это наблюдаемое значение, а число 3 может быть его частотой, если четвёрка встретилась трижды. Путаница возникает, когда не различают, что именно измеряли, и сколько раз получили результат. Для проверки спросите себя: «Это результат наблюдения или количество его повторений?»
• Сумма частот не равна числу исходных данных. Обычно это означает, что наблюдение пропустили или какое-то значение посчитали дважды. Ошибка может быть незаметна в отдельной строке, зато обнаруживается при общем сложении. Сравните сумму частот с числом элементов исходного списка и при несовпадении пересчитайте каждое значение.

Связь с другими темами

Для упорядочивания нужно уметь сравнивать натуральные числа и располагать их по возрастанию или убыванию. Этот способ записи полезен не только в задачах: он помогает разбирать результаты опросов, измерений и экспериментов. Упорядоченные данные и частоты служат основой для дальнейшего изучения средних значений и статистических диаграмм. Поэтому аккуратный подсчёт здесь пригодится при переходе к следующим темам.

Что запомнить

• Упорядоченный ряд сохраняет все исходные данные, включая повторения.
• В таблице распределения каждое различное значение указывают один раз.
• Частота показывает, сколько раз встретилось значение.
• Сумма всех частот равна числу наблюдений.
• Упорядочивание облегчает поиск крайних значений и повторов.