"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
График линейной функции — прямая, а её положение задают коэффициенты в формуле y = kx + b. По угловым коэффициентам k можно понять, пересекутся ли две прямые: при разных k они встречаются в одной точке. Если k одинаковы, сравнивают свободные члены b: разные значения дают параллельные прямые, одинаковые — совпадающие. Это позволяет определить взаимное расположение графиков по формулам и найти точку пересечения решением системы уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График линейной функции — прямая на координатной плоскости, изображающая все пары значений функции. Каждая её точка имеет координаты (x; y), связанные формулой y = kx + b. Это определение помогает понять, почему при построении достаточно найти две точки: через две точки проходит ровно одна прямая.
Угловой коэффициент — коэффициент k в формуле y = kx + b, определяющий наклон прямой. Чем он отличается от коэффициента b? Именно k показывает, как меняется y при изменении x, а b задаёт значение функции при x = 0. Сравнение k нужно, чтобы выяснить, направлены ли прямые одинаково.
Точка пересечения графиков — общая точка двух графиков, координаты которой удовлетворяют обеим формулам. В этой точке при одном и том же x обе функции дают одно и то же y. Поэтому её координаты можно найти, решив уравнение, полученное приравниванием правых частей формул.
Параллельные прямые — прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами, которые не пересекаются. Для графиков функций это означает, что k совпадают, а свободные члены b различаются. Определение позволяет отличить параллельные графики от совпадающих: у совпадающих прямых общими являются все точки.
График функции y = kx + b получается прямой, потому что при изменении x на одинаковую величину значение y каждый раз изменяется на одну и ту же величину: на k, умноженное на изменение x. Такая постоянная скорость изменения не создаёт изгибов. Достаточно отметить две пары значений, удовлетворяющих формуле, а затем провести через эти точки прямую.
Коэффициент k влияет на наклон: при одинаковом изменении x прямые с разными k изменяют y по-разному. Коэффициент b отвечает за начальное значение y, когда x = 0, поэтому график проходит через точку (0; b). Если менять b, не меняя k, прямая сдвигается вверх или вниз, сохраняя прежний наклон.
Если угловые коэффициенты равны, графики имеют одинаковый наклон. Разные b означают, что при x = 0 прямые проходят через разные точки, поэтому они не могут пересечься: если бы общая точка существовала, при одном x значения y совпали бы, а разность этих значений равна b₁ − b₂ и не меняется. Если же совпадают и k, и b, формулы одинаковы, значит, совпадают и все точки графиков.
При разных k прямые не могут быть параллельными. Если при некотором x их значения y окажутся равными, то прямые пересекутся; уравнение k₁x + b₁ = k₂x + b₂ имеет ровно одно решение, потому что коэффициенты при x различаются. Значит, найдётся ровно одна общая точка. Это можно увидеть и на графике: прямые с разными наклонами при продолжении пересекаются.
Чтобы найти точку пересечения, ищут значения x и y, которые подходят сразу обеим формулам. Приравнивание правых частей даёт уравнение для x, а подстановка найденного x в любую формулу даёт y. Полученная пара должна удовлетворять и второй формуле; так проверяют вычисления. Если уравнение не имеет решений, общих точек нет, а если подходит любое x, графики совпадают.
| Условие для y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ | Взаимное расположение | Число общих точек | Как определить или найти |
|---|---|---|---|
| k₁ ≠ k₂ | Пересекаются | Одна | Приравнять формулы и решить уравнение |
| k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ | Параллельны | Ни одной | Одинаковые наклоны, разные значения при x = 0 |
| k₁ = k₂, b₁ = b₂ | Совпадают | Бесконечно много | Формулы задают одну функцию |
| Точка пересечения графиков | (x; y), где значения функций равны | Одна, если k₁ ≠ k₂ | Решить систему: y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ |
Сначала сравните k, затем, если коэффициенты равны, сравните b. Чтобы получить координаты пересечения, при разных k приравняйте формулы и после нахождения x вычислите y.
Ответ: графики параллельны.
Ответ: точка пересечения — (1; 3).
Ответ: пересекаются при a ≠ 6 и любом b; параллельны при a = 6, b ≠ 3; совпадают при a = 6, b = 3.
Ошибка — считать прямые параллельными, когда у них одинаковые свободные члены. Обычно внимание цепляется за заметные числа в конце формул, но параллельность определяется равенством k, а не b. Проверьте себя: выделите коэффициенты при x отдельно; для параллельных графиков k должны совпадать, а b — различаться.
Иногда коэффициент k путают со свободным членом b и делают вывод о наклоне по b. Это происходит потому, что оба числа стоят в одной формуле, но у них разные роли: k умножается на x, а b прибавляется отдельно. Чтобы проверить себя, подставьте x = 0: значение функции равно b, тогда как наклон задаёт k.
При поиске пересечения можно ошибочно приравнять только x или только y. Координаты точки сами по себе не должны быть одинаковыми: одинаково значение функции y при одном и том же x. Составьте уравнение k₁x + b₁ = k₂x + b₂, решите его, а затем найдите y подстановкой.
Совпадающие прямые иногда называют параллельными, потому что у них одинаковый наклон. Но параллельные прямые не имеют общих точек, а совпадающие состоят из одних и тех же точек. Проверьте число решений системы: отсутствие решений означает параллельность, бесконечно много решений — совпадение.
Для работы с графиками понадобятся координатная плоскость, линейное уравнение с двумя переменными и запись функции y = kx + b. Также нужно уметь строить прямую по двум точкам: так можно увидеть результат и проверить вычисления. Решение систем линейных уравнений даёт координаты общей точки графиков.
Дальше этот способ пригодится при исследовании систем уравнений и графическом решении задач. Вид графиков помогает понять, сколько решений имеет система, ещё до подробных вычислений. А найденную на графике точку можно проверить подстановкой в уравнения.
Как это устроено
Почему одинаковые угловые коэффициенты не всегда означают совпадение графиков?
Коэффициент k задаёт наклон прямой, но не её высоту на координатной плоскости. Если k одинаковы, а b различаются, прямые имеют одинаковый наклон, но проходят на разной высоте, поэтому они параллельны.
Как определить взаимное расположение прямых, не строя графики?
Запишите обе формулы в виде y = kx + b и сравните коэффициенты. Разные k означают пересечение; одинаковые k при разных b — параллельность; одинаковые k и b — совпадение.
Почему две прямые с разными угловыми коэффициентами обязательно пересекаются?
Их наклоны различаются, поэтому прямые не идут в одном направлении. При продолжении в обе стороны они встречаются ровно один раз. Алгебраически это видно из уравнения k₁x + b₁ = k₂x + b₂: при k₁ ≠ k₂ оно имеет единственное решение.
Как найти точку пересечения графиков?
Приравняйте правые части формул, так как в точке пересечения значения y у графиков одинаковы. Решите полученное уравнение относительно x, затем подставьте найденное значение в одну из формул и вычислите y. Запишите ответ как пару координат (x; y).
Что означает бесконечное множество решений системы с точки зрения графиков?
Это означает, что у графиков бесконечно много общих точек. Такое происходит, когда прямые совпадают: каждая точка одной прямой принадлежит и другой. Их формулы задают одну и ту же зависимость.
§ 11. Взаимное расположение графиков
