§ 10. Линейная функция у = kх

Определения и обозначения

Функцией вида y = kx называют правило, по которому каждому значению x соответствует значение y, равное произведению числа k на x. Например, если k = 3 и x = 2, то y = 6. Запись помогает быстро находить зависимое значение по заданному x. Буква x обозначает независимую переменную, а y — значение функции.

Число k в формуле y = kx называют коэффициентом. Оно показывает, во сколько раз значение y связано со значением x, а его знак и модуль влияют на направление и крутизну прямой. Поэтому, сравнивая коэффициенты, можно заранее представить особенности графиков. Коэффициент остаётся одним и тем же при любых x.

График функции — это множество точек, координаты которых удовлетворяют её формуле. Для y = kx это точки вида (x; kx); если k ≠ 0, они лежат на прямой, проходящей через начало координат. Такая прямая наглядно показывает, как изменяется y при изменении x. Чтобы проверить точку, достаточно подставить её координаты в формулу.

При k ≠ 0 зависимость y = kx называют прямой пропорциональностью. Если x увеличить или уменьшить в несколько раз, y изменится во столько же раз и в ту же сторону по масштабу. Например, при увеличении x в 3 раза значение y тоже увеличится в 3 раза. Это свойство удобно применять в задачах о равномерных зависимостях.

Как это устроено

График проходит через начало координат не случайно: при x = 0 произведение k · 0 равно нулю. Значит, точка (0; 0) удовлетворяет уравнению y = kx при любом k. Она обязательно входит в график, поэтому её удобно использовать при построении. Если k = 0, эта формула по-прежнему задаёт точки с y = 0.

Чтобы построить график по формуле, выбери несколько значений x и для каждого вычисли y умножением на k. Полученные пары запиши как координаты точек и отметь их на координатной плоскости. При k ≠ 0 двух различных точек достаточно: через них проводят прямую. Дополнительная точка помогает проверить, верно ли выполнены вычисления и построение.

Знак k определяет, как меняется функция при движении слева направо. Если k > 0, положительное изменение x даёт положительное изменение y, поэтому прямая поднимается и функция возрастает. Если k < 0, при увеличении x значение y уменьшается, и прямая опускается. Это следует из умножения изменения x на коэффициент k.

Крутизна зависит от модуля коэффициента: при одинаковом изменении x величина изменения y тем больше, чем больше |k|. Поэтому график с большим модулем k наклонён круче. Коэффициенты k и −k отличаются только знаком, значит, соответствующие значения y при том же x противоположны. Из-за этого графики таких функций симметричны относительно оси Ox.

При k = 0 произведение kx равно нулю для каждого x, поэтому формула превращается в y = 0. Все точки с такой координатой y лежат на оси Ox, и она становится графиком функции. Это постоянная функция: какое бы значение x ни выбрали, y не изменится. Отдельной наклонной прямой в этом случае нет.

Зависимость свойств графика y = kx от коэффициента k

Сначала найди столбец с нужным условием на k, затем сравни свойства графика. Для наклона учитывай не только знак коэффициента, но и его модуль. При k = 0 пользуйся отдельным столбцом: формула задаёт ось Ox.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x.

Нужно получить несколько пар значений, а затем отметить их на координатной плоскости. Выберем простые значения x, чтобы умножение на 2 было удобным. Точку с x = 0 включим обязательно: она поможет провести график через начало координат.

1. Возьмём x = −1, 0 и 1.
2. Вычислим значения: при x = −1 получаем y = 2 · (−1) = −2; при x = 0 получаем y = 0; при x = 1 получаем y = 2.
3. Отметим точки (−1; −2), (0; 0) и (1; 2), а затем проведём через них прямую.

Все точки расположены на одной прямой, потому что каждому x соответствует значение, пропорциональное x с одним и тем же коэффициентом. Третья точка служит дополнительной проверкой построения. Ответ: график — прямая через точки (−1; −2), (0; 0) и (1; 2).

Определите, какая из точек A(−2; 6), B(1; −3), C(0; 1) принадлежит графику y = −3x.

Точка принадлежит графику, если её координаты выполняют равенство y = −3x. Проверим каждую пару отдельно, подставляя первую координату вместо x. Важно проверить обе координаты: полученное значение должно совпасть со второй координатой точки.

1. Для A(−2; 6): −3 · (−2) = 6, это совпадает с координатой y. Значит, A принадлежит графику.
2. Для B(1; −3): −3 · 1 = −3, равенство выполняется. Значит, B тоже принадлежит графику.
3. Для C(0; 1): −3 · 0 = 0, а в точке указано y = 1. Равенство не выполняется, поэтому C не принадлежит графику.

Ответ: графику принадлежат точки A и B. Точка C не подходит, хотя её первая координата равна нулю: на графике при x = 0 значение y обязательно равно нулю.

График функции y = kx проходит через точку M(4; −6). Найдите k и постройте график.

Раз точка лежит на графике, её координаты должны удовлетворять формуле. Подставим x = 4 и y = −6, чтобы найти неизвестный коэффициент. Затем выберем ещё одну удобную точку графика для построения прямой.

1. Подставим координаты M: −6 = 4k.
2. Разделим обе части равенства на 4: k = −6/4 = −3/2.
3. Функция имеет вид y = −3/2x. При x = 0 получаем y = 0, поэтому ещё одна точка — (0; 0).
4. Отметим M(4; −6) и (0; 0), затем проведём через них прямую.

Коэффициент отрицательный, поэтому прямая убывает слева направо. Этих двух точек достаточно для построения, поскольку график при найденном k является прямой. Ответ: k = −3/2; график проходит через точки (0; 0) и (4; −6).

Типичные ошибки

Иногда считают, что график y = kx не обязан проходить через начало координат. Ошибка возникает, когда строят прямую по произвольным точкам и забывают проверить особое значение x = 0. Подстановка сразу даёт y = 0, поэтому точка (0; 0) принадлежит графику. Если построенная прямая не проходит через неё, проверь вычисления и отметки.

Можно перепутать знак коэффициента и направление наклона. При k > 0 прямая поднимается слева направо, а при k < 0 опускается; это видно и по значениям функции при увеличении x. Такая ошибка часто появляется, если судить только по положению одной точки. Проверь два значения x, например −1 и 1, и сравни соответствующие y.

При вычислении y иногда забывают умножить x на отрицательный коэффициент или ошибаются со знаком произведения. Например, (−3) · (−2) = 6, а не −6. Чтобы проверить себя, подставь x в скобках и отдельно определи знак произведения. Затем проверь, лежит ли полученная пара на графике.

Некоторые полагают, что при k = 0 графика не существует. Но формула становится y = 0 и задаёт значение для каждого x, значит, точки графика есть. Ошибка появляется из-за привычки представлять график только наклонной прямой. Проверь формулу подстановкой любого x: получатся точки оси Ox.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = kx нужны координатная плоскость, умение находить координаты точек и строить график по таблице значений. Если эти действия пока вызывают затруднение, сначала потренируйся отмечать пары (x; y) на плоскости. Сама функция помогает изучать линейную функцию общего вида y = kx + b: в ней к произведению добавляется число b. Прямая пропорциональность также встречается в задачах, где одна величина изменяется вместе с другой в постоянное число раз.

Что запомнить

• Функция y = kx задаёт зависимость значения y от x.
• При x = 0 значение функции равно нулю.
• При k ≠ 0 график — прямая, проходящая через начало координат.
• Если k > 0, функция возрастает; если k < 0 — убывает.
• Чем больше |k|, тем круче график.
• При k = 0 график совпадает с осью Ox.