§ 9. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — числа, а x — независимая переменная. Это означает, что каждому выбранному значению x по формуле соответствует значение y. Такая запись помогает описывать ситуации, в которых одна величина зависит от другой простым законом.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют её формуле. Например, если при x = 2 формула даёт y = 3, то точка (2; 3) лежит на графике. По графику можно увидеть, как меняется y при изменении x.

Коэффициент k — число при x в формуле y = kx + b; он определяет наклон прямой. Чем больше модуль k, тем заметнее наклон, а знак коэффициента показывает, в какую сторону направлена прямая. Это помогает судить о поведении функции, не строя график.

Свободный член b — число без x в формуле; он задаёт значение функции при x = 0. Когда x равен нулю, слагаемое kx исчезает, и остаётся y = b. Поэтому b нужен, чтобы сразу определить пересечение графика с осью y.

Как это устроено

Формула y = kx + b задаёт линейную функцию, потому что при изменении x на одно и то же число значение y изменяется на одинаковую величину. Например, если x увеличить на 1, то kx изменится на k, а b останется прежним. Значит, каждый одинаковый шаг по горизонтали даёт одинаковый шаг по вертикали — так и получается прямая.

График линейной функции — прямая, поэтому для его построения достаточно найти две точки. Выберите два значения x, подставьте их в формулу и вычислите соответствующие y. Две точки с разными x задают единственную прямую, а остальные значения формулы будут соответствовать точкам на ней.

Коэффициент k задаёт направление наклона прямой. Если x увеличивается, то при k > 0 произведение kx растёт, поэтому растёт и y; функция возрастает. При k < 0 произведение становится меньше, и функция убывает, а при k = 0 слагаемое с x исчезает — y не меняется.

Свободный член b равен значению функции при x = 0: подстановка даёт y = k · 0 + b = b. Точка графика с координатами (0; b) лежит на оси y, потому что у неё первая координата равна нулю. Поэтому по b можно сразу найти место пересечения прямой с этой осью.

Если b = 0, формула принимает вид y = kx. При x = 0 тогда получается y = 0, то есть график содержит точку (0; 0). Эта точка является началом координат, поэтому прямая проходит через него.

Как коэффициенты влияют на график y = kx + b

Сначала найдите строку, условие которой подходит к формуле, затем прочитайте соответствующее поведение или свойство графика. Знаки сравнения относятся к коэффициентам k и b, а не к значениям x. Если известно несколько условий, например k < 0 и b = 0, используйте сразу обе строки.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x − 1.

1. Выберем удобное значение x = 0: подстановка даёт y = 2 · 0 − 1 = −1. Получили точку (0; −1).
2. Возьмём ещё одно значение, например x = 1: тогда y = 2 · 1 − 1 = 1. Получили точку (1; 1).
3. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Проверка: при увеличении x на 1 значение y увеличилось на 2, что согласуется с коэффициентом k = 2.

Ответ: график — прямая через точки (0; −1) и (1; 1).

Определите, возрастает или убывает функция y = −3x + 4, и укажите точку пересечения её графика с осью y.

1. Сравним формулу с общим видом y = kx + b. Здесь k = −3, а b = 4.
2. Коэффициент k отрицательный, поэтому функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается.
3. Свободный член равен 4, значит, при x = 0 имеем y = 4. Следовательно, прямая пересекает ось y в точке (0; 4).

Ответ: функция убывает; точка пересечения с осью y — (0; 4).

Найдите формулу линейной функции, график которой проходит через точки (0; 3) и (2; −1).

1. Запишем общий вид y = kx + b. Точка (0; 3) лежит на графике, поэтому при x = 0 значение y равно 3; значит, b = 3.
2. Подставим координаты второй точки (2; −1) в формулу: −1 = 2k + 3. Вычтем 3 из обеих частей и получим −4 = 2k.
3. Разделим обе части на 2: k = −2. Подставим найденные коэффициенты в общий вид функции: y = −2x + 3.
4. Проверим: при x = 0 выходит y = 3, а при x = 2 выходит y = −4 + 3 = −1. Обе заданные точки удовлетворяют формуле.

Ответ: y = −2x + 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любая линейная функция проходит через начало координат. Это верно только при b = 0, но часто забывают о свободном члене. Проверьте формулу подстановкой x = 0: если получается y = b, то начало координат принадлежит графику лишь при b = 0.

Ошибка: путать коэффициенты k и b. Их роли легко смешать, потому что оба числа стоят в одной формуле, но k умножается на x и определяет наклон, а b не содержит x и задаёт значение при x = 0. Для проверки подставьте x = 0: исчезнет именно слагаемое с k.

Ошибка: находить только одну точку и пытаться по ней построить прямую. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому график не определяется однозначно. Найдите две точки с разными значениями x, а затем проверьте, что обе получены подстановкой в формулу.

Ошибка: неверно определять направление изменения функции. Иногда знак коэффициента читают наоборот или смотрят на b, хотя направление задаёт k. Сверьтесь с правилом: при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает; при k = 0 остаётся постоянной.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в выражение, вычисления значения формулы и отметки точек на координатной плоскости. Если одно из этих действий вызывает затруднение, полезно сначала потренироваться на простых примерах. Линейные функции пригодятся при изучении систем уравнений и зависимостей между величинами: пересечение графиков помогает находить общие решения, а формула описывает, как одна величина меняется вместе с другой. Эти навыки также подготавливают к построению графиков более сложных функций.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух точек.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k = 0 функция постоянна.
• График пересекает ось y в точке (0; b).
• При b = 0 график проходит через начало координат.