§ 8. Линейное уравнение с 2-мя переменными

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Коэффициенты показывают, с какими числами переменные входят в уравнение. Такой вид помогает отличить линейные уравнения от уравнений с квадратами переменных или их произведением.

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой уравнение становится верным равенством. Порядок важен: первое число задаёт x, а второе — y. Запись пары сразу показывает, какие два значения нужно проверять вместе.

График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения уравнения. Значит, каждой подходящей паре соответствует точка, а всем решениям вместе — целый рисунок. График позволяет увидеть связь между значениями переменных.

Линейное уравнение с двумя переменными, записанное относительно y, имеет вид y = kx + m и получается из ax + by = c при b ≠ 0. Здесь y выражена через x, поэтому для выбранного значения x можно сразу найти y. Такая запись особенно удобна для нахождения точек графика.

Как это устроено

Чтобы распознать линейное уравнение, проверь, как именно в него входят переменные. Каждая из них должна быть только в первой степени: допустимы, например, 3x и −2y. Если переменная возведена в квадрат или переменные перемножаются, как в xy, уравнение уже не относится к линейным. Это условие важно, потому что именно линейная зависимость даёт график в виде прямой.

Решение записывают упорядоченной парой, потому что уравнение связывает два разных значения. Например, в паре (2; 1) число 2 подставляют вместо x, а число 1 — вместо y. При перестановке получится другая пара, и равенство может стать неверным. Поэтому скобки и порядок чисел помогают не перепутать переменные.

Проверка пары состоит в подстановке обоих чисел в исходное уравнение. Например, для уравнения 3x − y = 5 пара (2; 1) подходит: 3 · 2 − 1 = 5. А пара (1; 2) не подходит, потому что 3 · 1 − 2 = 1, а не 5. Нужно сравнить обе части равенства целиком, а не только выполнить часть вычислений.

Обычно решений бесконечно много, потому что можно выбрать одно значение переменной и вычислить другое. В уравнении 2x + y = 4, например, при x = 0 получится y = 4, а при x = 1 — y = 2. Каждый новый выбор x может дать новую пару, которая удовлетворяет равенству. Значит, уравнение задаёт не одну пару, а множество решений.

Чтобы изобразить все решения, достаточно найти две различные пары и отметить соответствующие им точки на координатной плоскости. Для линейного уравнения эти точки лежат на одной прямой: именно так проявляется линейная зависимость. Через две различные точки проводят прямую, и на ней находятся остальные решения. Если взять только одну точку, через неё можно провести много разных прямых, поэтому её недостаточно.

Линейное уравнение и его график

Сравни вид записи и то, какую информацию из него удобно получить. В таблице приведены общие правила: для построения графика в обоих случаях сначала находят пары-решения. Если b ≠ 0, переход к записи относительно y упрощает вычисления.

Сначала посмотри, можно ли выразить y: для этого коэффициент b при y не должен быть равен нулю. Затем найди две разные пары и проверь каждую подстановкой. По этим парам отметь точки и проведи прямую.

Разбор задач

Проверка пары

Проверьте, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x − y = 5. Сначала определим, какое число относится к каждой переменной: по порядку записи x = 2, y = 1. Затем подставим оба значения и сравним результат с правой частью. Если равенство верно, пара является решением.

1. Подставим значения: 3 · 2 − 1 = 5.
2. Вычислим левую часть: 6 − 1 = 5.
3. Сравним обе части: получилось 5 = 5, то есть верное равенство.

Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.

Поиск трёх решений

Найдите три решения уравнения 2x + y = 4. Удобнее выразить y через x, чтобы для каждого выбранного x сразу получить подходящее значение y. Возьмём простые значения x: 0, 1 и 2. После вычислений обязательно запишем результаты парами в порядке (x; y).

1. Выразим y: y = 4 − 2x.
2. При x = 0 получаем y = 4 − 2 · 0 = 4, значит, первая пара — (0; 4).
3. При x = 1 получаем y = 4 − 2 · 1 = 2, значит, вторая пара — (1; 2).
4. При x = 2 получаем y = 4 − 2 · 2 = 0, значит, третья пара — (2; 0).

Ответ: (0; 4), (1; 2), (2; 0). Каждую пару можно проверить подстановкой в исходное уравнение.

Построение графика

Постройте график уравнения 2x − y = 2. Чтобы найти координаты точек, выразим y через x: так для выбранного x вычисление будет прямым. Возьмём x = 0 и x = 1, чтобы получить две разные точки. Проверка подстановкой подтвердит, что найденные пары действительно принадлежат графику.

1. Выразим y: 2x − y = 2, поэтому y = 2x − 2.
2. При x = 0 получаем y = −2. Первая точка имеет координаты (0; −2).
3. При x = 1 получаем y = 0. Вторая точка имеет координаты (1; 0).
4. Отметим обе точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −2) и (1; 0).

Типичные ошибки

Можно принять за решение любое число, которое подошло вместо одной переменной. Но уравнение содержит две переменные, поэтому одного значения недостаточно: решение должно сообщать и x, и y. Такую ошибку допускают, когда ищут ответ по образцу обычного уравнения с одной переменной. Проверь себя: записана ли у тебя пара из двух чисел?

Ещё одна ошибка — поменять числа в паре местами. В записи (2; 1) первое число относится к x, второе — к y, а при перестановке получаем уже другую пару. Путаница возникает, если не учитывать порядок координат. Перед подстановкой подпиши значения: x = первое число, y = второе.

Иногда вычисляют только одну часть равенства или теряют знак минус. Тогда проверка не показывает, верна ли пара, хотя отдельное действие могло быть выполнено правильно. Подставлять нужно оба значения, соблюдать знаки и сравнивать левую часть с правой. Для самопроверки перепиши всё равенство после подстановки и выполни вычисления по порядку.

Нельзя построить прямую по одной точке или соединить найденные точки кривой. Одну точку могут проходить разные прямые, поэтому она не задаёт нужный график; кроме того, график линейного уравнения именно прямой. Ошибку помогают заметить две различные проверенные точки и прямая, проведённая через них. Убедись, что обе точки соответствуют решениям уравнения.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужно уметь подставлять числа вместо переменных и выполнять действия с рациональными числами. Эти навыки помогают вычислять неизвестное значение и проверять пару без ошибок. Также понадобится координатная плоскость: значение x задаёт горизонтальную координату, а y — вертикальную. Зная координаты двух точек, можно провести через них прямую.

Линейные уравнения с двумя переменными станут основой для изучения систем уравнений. Система объединяет несколько уравнений, а её решение должно удовлетворять каждому из них. Графический способ решения помогает увидеть это условие: общие решения уравнений соответствуют общим точкам их графиков.

Что запомнить

• Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c.
• Коэффициенты при переменных не могут одновременно равняться нулю.
• Решение уравнения — упорядоченная пара (x; y).
• Чтобы проверить пару, подставь оба её числа в уравнение.
• Линейное уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечно много решений.
• График такого уравнения — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две различные точки графика.