§ 7. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, общим началом отсчёта и выбранным единичным отрезком. Иначе говоря, на ней можно задавать положение точки числами в двух направлениях. Такая система нужна, чтобы точно отмечать точки и описывать их расположение.

Координатные оси — две перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy. Каждая ось имеет направление и деления, как знакомая числовая прямая. По ним отсчитывают, насколько точка смещена от начала координат.

Координаты точки — пара чисел (x; y): первое число задаёт положение точки по оси Ox, второе — по оси Oy. Число x показывает горизонтальное смещение, а y — вертикальное. Такая запись позволяет однозначно указать точку, если известны направления осей и единичный отрезок.

Абсцисса и ордината — соответственно первая и вторая координаты точки. Значит, абсцисса — это x, а ордината — y. Эти названия помогают не перепутать, какое число отвечает за горизонтальное, а какое за вертикальное положение.

Как это устроено

Чтобы построить координатную плоскость, сначала проводят две перпендикулярные прямые. Точку их пересечения принимают за начало координат, а на каждой оси отмечают единичный отрезок. Он нужен, чтобы измерять расстояния одинаковой мерой и соотносить положение точки с числовыми значениями.

Координаты записывают в порядке (x; y), потому что каждой оси соответствует своё место в паре: сначала Ox, затем Oy. Сначала мы задаём, насколько точка смещена по горизонтали, и только потом — по вертикали. Если поменять координаты местами, обычно изменится точка: например, (3; 2) и (2; 3) указывают на разные положения.

Чтобы построить точку (x; y), начни от начала координат и сначала пройди x единиц по горизонтали, а затем y единиц по вертикали. Положительное число задаёт движение вправо или вверх, отрицательное — влево или вниз. Такой порядок удобен: после первого шага ты оказываешься на нужной вертикальной линии, а второй шаг приводит к самой точке.

Координаты уже изображённой точки можно определить с помощью линий, параллельных осям. Через точку мысленно или линейкой проводят горизонтальную и вертикальную прямые и смотрят, где они пересекают оси. Так горизонтальное значение считывают по Ox, а вертикальное — по Oy; единичный отрезок показывает, сколько единиц нужно отсчитать.

Оси делят плоскость на четыре области, которые называют четвертями. Знаки координат в каждой области различаются: справа значения x положительные, слева отрицательные; выше оси Ox значения y положительные, ниже — отрицательные. На самих осях одна координата равна нулю, поэтому такие точки лежат на границе, а не внутри четвертей.

Знаки координат в четвертях координатной плоскости

Чтобы найти четверть, сначала определи знак x, затем знак y и сопоставь их с таблицей. Если одна координата равна нулю, точка лежит на соответствующей оси, а не в четверти.

Разбор задач

Отметить на координатной плоскости точку A(3; 2)

В записи A(3; 2) первым дано горизонтальное смещение, а вторым — вертикальное. Оба числа положительные, поэтому точка окажется справа и выше начала координат. Двигаться нужно в указанном порядке, чтобы не поменять координаты местами.

1. Найди начало координат — точку пересечения Ox и Oy.
2. От него отсчитай по оси Ox три единицы вправо.
3. Из полученного положения пройди две единицы вверх, параллельно Oy, и отметь точку A.

Ответ: точка A(3; 2) расположена на три единицы правее и на две единицы выше начала координат.

Точка B расположена на 4 единицы левее начала координат и на 2 единицы выше него. Определить координаты B.

Здесь направления уже описаны словами, поэтому сначала переведём их в знаки. Движение влево соответствует отрицательному значению по Ox, а движение вверх — положительному по Oy. После этого числа нужно записать в порядке (x; y).

1. Определи абсциссу: четыре единицы влево дают x = −4.
2. Определи ординату: две единицы вверх дают y = 2.
3. Запиши сначала абсциссу, затем ординату: B(−4; 2).

Ответ: B(−4; 2). Проверка по знакам показывает, что точка находится слева от Oy и выше Ox.

Точки C(−3; 2) и D(2; −3) изображены на плоскости. Определить четверти и сравнить их расположение.

Для определения четверти достаточно проверить знаки обеих координат. У C абсцисса отрицательная, а ордината положительная; у D — наоборот. Не считай, что одинаковые числа −3 и 2 задают одинаковое положение: они стоят в парах на разных местах.

1. У точки C(−3; 2) x < 0 и y > 0, значит, она лежит во II четверти.
2. У точки D(2; −3) x > 0 и y < 0, значит, она лежит в IV четверти.
3. Сравни направления: C находится слева и выше начала координат, а D — справа и ниже.

Ответ: C находится во II четверти, D — в IV. Точки расположены по разные стороны обеих осей; координаты каждой точки читаются в своём порядке.

Типичные ошибки

Координаты иногда меняют местами и записывают вертикальное смещение первым. Это происходит, когда забывают, что пара всегда начинается с Ox. Проверь себя: мысленно пройди по первому числу горизонтально, а по второму — вертикально; если порядок не совпадает, запись прочитана неверно.

Другая ошибка — не учитывать знак числа и двигаться только по его величине. Отрицательная абсцисса ведёт влево, а отрицательная ордината — вниз, потому что именно так устроены направления числовых осей. Для проверки соотнеси каждый знак с направлением до того, как отмечать точку.

Точки на осях иногда относят к одной из четвертей. Так происходит потому, что ось выглядит как граница соседних областей, но четверти не включают свои границы. Проверь координаты: если x = 0 или y = 0, точка лежит на оси, а не в четверти.

Координаты могут считывать по наклонным линиям или без учёта единичного отрезка. Тогда одно направление смешивается с другим или неверно определяется расстояние. Проведи через точку линии, параллельные осям, и отсчитывай деления отдельно по Ox и Oy, проверяя, какой отрезок принят за единицу.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь изображать числа на числовой прямой и отсчитывать единичные отрезки. Эти навыки помогают правильно задавать направления и измерять смещения по каждой оси. Если числовая прямая знакома, построение координатной системы становится переходом от одного измерения к двум.

Координатная плоскость понадобится при построении графиков функций и решении задач на координаты точек. В графике каждой точке соответствуют значения по двум осям, поэтому умение читать пару чисел помогает видеть связь между величинами. Те же правила знаков и порядка координат применяются и в других задачах с точками.

Что запомнить

• Ось Ox горизонтальна, ось Oy вертикальна.
• Начало координат — точка пересечения осей; её координаты (0; 0).
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса — первая координата, ордината — вторая.
• Положительная абсцисса задаёт движение вправо, отрицательная — влево.
• Положительная ордината задаёт движение вверх, отрицательная — вниз.