§ 6. Статистика и комбинаторика

Определения и обозначения

Статистическая выборка — набор наблюдаемых значений некоторого признака. Например, количество книг, прочитанных учениками за месяц, образует выборку по признаку «число прочитанных книг». По выборке судят о том, какие значения признака встречаются и как они распределены. Это позволяет не просто перечислить результаты наблюдений, а описать их.

Размах выборки — разность между наибольшим и наименьшим значениями: из максимума вычитают минимум. Он показывает ширину разброса данных от самого маленького результата до самого большого. Чем размах больше, тем дальше друг от друга находятся крайние значения, хотя остальные числа он не описывает.

Мода выборки — значение, которое встречается чаще остальных. Чтобы её найти, сравнивают частоты, то есть количество повторений каждого значения. Мод может быть несколько, если несколько значений встречаются одинаково часто и чаще других; иногда моду не выделяют вовсе.

Медиана выборки — значение, стоящее посередине упорядоченного ряда. Если данных нечётное количество, медиана — единственное среднее значение; если чётное — среднее арифметическое двух значений в середине. Она помогает определить центр ряда, не складывая все числа.

Как это устроено

Перед поиском характеристик данные упорядочивают по возрастанию или убыванию. В исходной записи соседние числа могут не иметь ничего общего, поэтому в ней трудно сразу увидеть крайние значения и середину. Упорядоченный ряд показывает, где находятся минимум и максимум, а также помогает найти медиану. Кроме того, повторяющиеся значения легче заметить, если записать ряд аккуратно.

Среднее арифметическое находят так: складывают все значения выборки и делят сумму на их количество. Оно даёт условное равномерное значение, которое получилось бы, если бы общий итог распределили поровну. Каждое число участвует в сумме, поэтому изменение даже одного результата может изменить среднее. Особенно заметно на него влияют очень большие или очень маленькие значения: они отдаляют среднее в свою сторону.

При сравнении выборок размах показывает расстояние между крайними результатами, мода — самое частое значение, а медиана — положение середины. Если две группы имеют одинаковое среднее, их данные всё равно могут быть устроены по-разному: например, отличаться разбросом или наиболее частым результатом. Поэтому полезно смотреть на несколько характеристик, а не делать вывод по одной. Каждая отвечает на свой вопрос о данных.

Результаты наблюдений удобно свести в таблицу частот: в одной колонке записать значения, в другой — сколько раз каждое встретилось. Так не нужно пересчитывать все наблюдения при каждом вопросе, а наибольшая частота сразу подсказывает моду. Те же данные можно показать столбчатой диаграммой: по горизонтали отмечают значения, а высота столбца показывает частоту. Сравнивая столбцы, легко увидеть, какие результаты распространены чаще.

Правило умножения применяют, когда составной выбор делают в несколько последовательных шагов. Если на первом шаге есть несколько вариантов, а для каждого из них на следующем шаге доступны все варианты, то каждому первому выбору соответствует полный набор продолжений. Поэтому общее число сочетаний равно произведению числа вариантов шагов. Например, 3 футболки и 4 пары брюк дают 3 × 4 сочетания, а не 3 + 4.

Статистические характеристики выборки

Сначала выбери в таблице характеристику, которая отвечает на нужный вопрос: о середине, разбросе или частоте. Для медианы обязательно упорядочи данные, а для моды сравни частоты значений. Среднее арифметическое требует всех чисел выборки.

Разбор задач

Задача 1. Для чисел 4, 7, 5, 7, 2 найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Сначала приведём данные к порядку, чтобы легко определить крайние и средние значения. Затем каждую характеристику найдём по её правилу.

1. Упорядочим ряд: 2, 4, 5, 7, 7.
2. Среднее арифметическое: (4 + 7 + 5 + 7 + 2) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5.
3. Размах: 7 − 2 = 5. Чаще всего встречается 7, значит, мода равна 7.
4. В ряду пять чисел, поэтому медиана — третье число, 5.

Ответ: среднее арифметическое — 5, размах — 5, мода — 7, медиана — 5. Совпадение среднего и медианы здесь не обязательно: это разные характеристики, найденные разными способами. Проверка по упорядоченному ряду также показывает, что оба крайних значения учтены при вычислении размаха.

Задача 2. В таблице указано, сколько книг прочитали ученики: 0 книг — 2 ученика, 1 книга — 5, 2 книги — 3. Сколько учеников в группе и какое число книг встречается чаще всего? Частоты уже подсчитаны, поэтому сначала сложим их, а затем сравним между собой.

1. Сложим количества учеников: 2 + 5 + 3 = 10.
2. Сравним частоты: 2, 5 и 3. Наибольшая из них — 5.
3. Частота 5 относится к значению 1 книга, значит, именно оно встречается чаще других.

Ответ: в группе 10 учеников, наиболее распространённое значение — 1 книга. Его частота равна пяти, то есть столько учеников прочитали по одной книге. По такой же логике моду можно находить по таблице или по самому высокому столбцу диаграммы.

Задача 3. Сколько разных комплектов можно составить, если выбрать одну из 3 футболок и одни из 4 пар брюк? Выбор состоит из двух шагов: сначала выбирают футболку, затем брюки. Каждая футболка может сочетаться с каждой парой брюк, поэтому перечислять все сочетания по одному не нужно.

1. На первом шаге есть 3 варианта футболки.
2. Для каждого варианта доступны 4 пары брюк.
3. По правилу умножения получаем 3 × 4 = 12 комплектов.

Ответ: 12 разных комплектов. Можно проверить результат перечислением: для каждой из трёх футболок получаются четыре комплекта. Сумма 3 + 4 не подходит, потому что она складывает варианты разных шагов, но не считает их сочетания.

Типичные ошибки

Иногда размах считают сложением крайних значений, например прибавляют минимум к максимуму. Так получают не расстояние между числами, а их сумму. Чтобы проверить себя, найди максимум и минимум и убедись, что размах показывает промежуток между ними: из большего числа нужно вычесть меньшее.

Медиану порой ищут прямо в том порядке, в котором данные записаны. Тогда «середина» списка может оказаться не серединой числового ряда. Перед поиском медианы расставь значения по возрастанию и пересчитай их количество; при чётном числе данных проверь пару средних значений.

Можно ошибочно решить, что у каждой выборки обязательно одна мода. Но несколько значений могут иметь одинаковую наибольшую частоту, а при одинаковых частотах всех значений наиболее частого может не быть. Составь список частот и сравни их: мода есть только у значения с частотой больше остальных.

При составном выборе иногда складывают числа вариантов последовательных независимых шагов. Например, 3 футболки и 4 пары брюк ошибочно превращают в 3 + 4. Сложение не учитывает сочетания футболок с брюками; проверь, что каждый вариант первого шага можно дополнить каждым вариантом второго, и тогда перемножай числа вариантов.

Связь с другими темами

Для работы с выборками нужны знакомые навыки: складывать и делить числа, сравнивать значения и упорядочивать числовой ряд. Статистика пригодится при чтении таблиц, диаграмм и результатов опросов: она помогает увидеть частоты и описать распределение данных. Правило умножения используют при подсчёте вариантов; такой подсчёт понадобится при дальнейшем изучении вероятности. Поэтому вычисления здесь помогают отвечать на практические вопросы о данных и возможных исходах.

Что запомнить

• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Для нахождения медианы данные сначала упорядочивают.
• Среднее арифметическое находят делением суммы всех значений на их количество.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Частоты показывают, сколько раз встречается каждое значение.
• Для последовательных независимых шагов выбора число вариантов перемножают.