"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Координатная прямая помогает изображать числа точками и видеть, как они расположены относительно друг друга. Чтобы задать её, выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке соответствует число — её координата. По координате можно построить точку, сравнить числа и найти расстояние между точками. Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Если у обычной прямой нет этих ориентиров, по ней нельзя определить, какое число соответствует точке. Выбор трёх элементов позволяет изображать числа точками и находить числа по точкам.
Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0; её обозначают буквой O. От этой точки отсчитывают расстояния в обе стороны. Начало отсчёта нужно, чтобы понимать, относительно чего определяется положение остальных точек.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения координат. Его откладывают от начала отсчёта, чтобы определить, где находятся числа 1 и −1, а затем и другие числа. Благодаря единичному отрезку можно задать масштаб и понять, сколько единиц или их частей отделяет точку от нуля.
Координата точки — число, показывающее положение точки на координатной прямой относительно начала отсчёта и единичного отрезка. Её записывают рядом с обозначением точки, например A(3). Координата нужна, чтобы точно указать положение точки и выполнять действия с соответствующими ей числами.
Одна прямая сама по себе не говорит, где на ней находится число 0 и в какую сторону должны возрастать числа. Поэтому сначала выбирают начало отсчёта, направление и отрезок, принятый за единицу. После этого от нуля можно одинаковыми шагами отметить 1, 2, 3 вправо, а −1, −2, −3 — влево. Так каждой отметке можно сопоставить число.
Положительное направление принято задавать вправо, и движение в эту сторону соответствует увеличению координат. Если двигаться в противоположную сторону от нуля, координаты уменьшаются, поэтому слева располагаются отрицательные числа. Это соглашение позволяет одинаково читать координатные прямые и сравнивать числа, даже если их изображают разные люди.
Чтобы построить точку по координате, нужно понять, сколько единичных отрезков отделяет её от нуля, и выбрать направление. Например, для координаты 3 откладывают три единичных отрезка вправо, а для −2 — два влево. Знак числа указывает сторону, а число без знака — расстояние в единицах. Для дроби вместо целых шагов используют части единичного отрезка.
Если точка расположена между целыми числами, её координату находят по делениям единичного отрезка. Например, когда отрезок от 0 до 1 разделён на четыре равные части, каждое деление равно ¼, а третья отметка имеет координату ¾. Все деления должны быть равными: иначе одно и то же расстояние соответствовало бы разным числовым шагам. Для точки слева от нуля такие доли записывают со знаком минус.
Сравнение чисел можно заменить сравнением положения их точек. Когда перемещаемся по прямой слева направо, координаты возрастают, поэтому из двух точек правее находится точка большего числа. Например, 2 больше −3, потому что точка 2 расположена правее точки −3. Такой способ особенно удобен, когда одно из чисел отрицательное или числа являются дробями.
| Элемент или действие | Что означает | Пример или обозначение |
|---|---|---|
| Начало отсчёта | Точка, соответствующая числу 0 | O(0) |
| Положительное направление | Сторона, в которой координаты возрастают | Обычно направлено вправо |
| Единичный отрезок | Отрезок, длина которого принята за единицу | От 0 до 1 |
| Координата точки | Число, задающее положение точки | A(3), B(−2) |
| Сравнение чисел по расположению точек | Правее расположенная точка соответствует большему числу | Если A правее B, то координата A больше координаты B |
Сначала по таблице проверь, заданы ли начало отсчёта, направление и единичный отрезок: без них нельзя однозначно прочитать координаты. Затем учитывай знак числа и цену деления. Для сравнения чисел достаточно определить, какая из соответствующих им точек находится правее.
На координатной прямой отметьте точки A(3) и B(−2). Координаты уже сообщают, на каком расстоянии от нуля находятся точки и в какую сторону нужно двигаться. Сначала представим ноль и единичные деления, а затем построим каждую точку.
Проверка: A должна находиться справа от нуля, а B — слева. Ответ: точки построены на расстоянии 3 и 2 единиц от O соответственно, в указанных направлениях.
Единичный отрезок разделён на четыре равные части. Нужно найти координату точки, расположенной на три деления левее точки с координатой 1. Сначала определим, чему равно одно деление, потому что отсчёт ведётся не целыми единицами, а частями единицы.
Полученное число положительное, поэтому точка остаётся справа от нуля. Это согласуется с тем, что от 1 мы прошли влево меньше одной целой единицы. Ответ: координата точки равна ¼.
Найдём расстояние между точками A(−1,5) и B(2). Одна точка находится слева от нуля, другая — справа, поэтому отрезок AB проходит через начало отсчёта. Чтобы получить его длину, можно сложить расстояния от каждой точки до нуля.
Расстояние — это длина отрезка, поэтому ответ не может быть отрицательным. Здесь большая координата минус меньшая даёт положительное число. Ответ: расстояние между точками равно 3,5 единицы.
Ошибка: считать отрицательные координаты расположенными справа от нуля. Так бывает, если знак минус принимают за указание на движение в положительную сторону; на координатной прямой вправо направлено движение к положительным числам. Проверь себя: точки −1 и −2 должны быть слева от O, причём −2 находится левее −1.
Ошибка: строить точку по числу делений, не учитывая длину единичного отрезка. Если единица разделена на четыре части, одно деление — это ¼, а не целая единица. Перед построением найди цену деления и проверь результат: четыре одинаковых деления должны составлять ровно один единичный отрезок.
Ошибка: путать координату точки с расстоянием от неё до начала отсчёта. Координата точки слева от нуля отрицательная, но длина отрезка от нуля до точки остаётся положительной. Для проверки спроси себя, обозначает ли найденное число сторону или только длину: расстояние не может быть меньше нуля.
Ошибка: сравнивать числа только по их модулю, то есть по расстоянию до нуля. Например, −5 не больше 2, хотя число 5 больше 2: точка −5 находится левее точки 2. Проверь сравнение по расположению точек: правее всегда находится точка большего числа.
Для работы с координатной прямой нужно различать положительные и отрицательные числа, понимать дроби и уметь измерять длину. Эти знания помогают находить цену деления и строить точки, которые лежат между целыми числами. Если единичный отрезок поделен на равные части, каждая отметка соответствует дробному числу.
Координатная прямая станет опорой при сравнении рациональных чисел и изображении числовых промежутков. Она также помогает понимать решения уравнений и неравенств: найденные числа можно отметить точками или отрезками. Геометрическое изображение делает видимыми порядок чисел и расстояние между ними.
Какие элементы нужны, чтобы задать координатную прямую?
Нужно выбрать начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Начало отмечают точкой O и принимают за число 0, а единичный отрезок задаёт масштаб.
Почему отрицательные числа располагаются слева от нуля?
На координатной прямой положительное направление принято задавать вправо. Движение в противоположную сторону соответствует отрицательным числам, поэтому они находятся слева от нуля.
Как построить точку с дробной координатой?
Сначала раздели единичный отрезок на столько равных частей, сколько показывает знаменатель дроби. Затем отсчитай нужное число таких частей от нуля: вправо для положительной координаты и влево для отрицательной.
Как сравнить два числа с помощью координатной прямой?
Найди или представь точки, которым соответствуют эти числа. Число, чья точка расположена правее, больше.
Чем координата точки отличается от расстояния до начала отсчёта?
Координата показывает положение точки и может быть положительной, отрицательной или нулевой. Расстояние до начала отсчёта не бывает отрицательным: это длина отрезка от нуля до точки.
§ 5. Координатная прямая
