§ 6. Координатная прямая

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Иначе говоря, на обычной прямой задают ориентир, направление движения и масштаб. Это позволяет связывать точки прямой с числами и сравнивать их положение.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0; её обозначают O. От неё начинают отсчитывать расстояние до остальных точек. Ноль служит границей между положительной и отрицательной частями координатной прямой.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу измерения. Его откладывают от начала отсчёта, чтобы определить, где находятся числа 1, 2 и другие. Выбранная длина задаёт масштаб, поэтому при другой длине единичного отрезка расстояния на рисунке будут выглядеть иначе.

Координата точки — число, показывающее положение точки на координатной прямой относительно начала отсчёта. Например, запись A(3) означает, что координата точки A равна 3. По координате можно найти точку, а по расположению точки — определить соответствующее ей число.

Как это устроено

Чтобы превратить обычную прямую в координатную, сначала выбирают на ней точку O и назначают ей число 0. Затем устанавливают положительное направление: его обычно показывают стрелкой вправо. Наконец, выбирают единичный отрезок, то есть расстояние, которое будет соответствовать одной единице. Все три выбора нужны вместе: без начала нет точки отсчёта, без направления нельзя определить знак, а без масштаба нельзя понять величину координаты.

Каждой точке соответствует единственное число, потому что положение точки относительно O измеряется в одном выбранном масштабе и в одном направлении. Точки не могут получить разные координаты, если находятся в одном и том же месте прямой. И наоборот, каждому числу соответствует ровно одна точка: от нуля можно отложить указанное расстояние только в заданную сторону. Поэтому координатная прямая даёт точное соответствие между числами и точками.

Знак координаты зависит от того, с какой стороны от начала отсчёта находится точка. Положительное направление принято считать движением к положительной стороне, а противоположное направление обозначают отрицательными числами. Поэтому справа от O стоят положительные координаты, слева — отрицательные, а в самой точке O координата равна нулю. Знак помогает указать не только расстояние от нуля, но и сторону, на которой находится точка.

Чтобы отметить заданную координату, сначала находят начало отсчёта и единичный отрезок. Затем от O откладывают соответствующее число таких отрезков: для положительной координаты — по выбранному направлению, для отрицательной — в противоположную сторону. Например, для координаты −3 нужно отложить три единичных отрезка влево, если положительное направление выбрано вправо. Для дробной координаты единичный отрезок делят на равные части.

Положение точек сравнивают по их координатам: большему числу соответствует точка правее. Это верно и для отрицательных чисел, например −1 больше −4, поэтому точка с координатой −1 находится правее. Расстояние между точками не зависит от того, какая из них левее: его находят как модуль разности координат. Для координат a и b это выражается формулой |a − b|, а модуль не позволяет получить отрицательное расстояние.

Элементы координатной прямой и их смысл

Чтобы построить координатную прямую, последовательно выбери начало отсчёта, направление и длину единичного отрезка. При чтении координатной прямой используй эти элементы вместе: координата зависит и от стороны, и от расстояния до O. Если сравниваешь точки, помни, что правее находится точка с большей координатой.

Разбор задач

Задача. На координатной прямой отметьте точки A(3) и B(−2). Обе координаты отсчитываются от начала O, а единичный отрезок задаёт расстояние, соответствующее одной единице. Сначала нужно определить направление для каждого знака, а затем отсчитать нужное число единиц от нуля.

1. Найдём начало отсчёта O, которому соответствует координата 0.
2. Координата точки A положительная, поэтому от O откладываем три единичных отрезка вправо и ставим точку A.
3. Координата точки B отрицательная, поэтому от O откладываем два единичных отрезка влево и ставим точку B.

Ответ: A находится на три единицы правее O, а B — на две единицы левее O. Отсчёт для каждой точки начинается именно от нуля, а не от другой уже отмеченной точки. Такой способ позволяет правильно поставить точки с любыми целыми координатами.

Задача. Какая из точек C(−4) и D(−1) расположена правее? Обе точки находятся слева от нуля, поэтому одного взгляда на знаки недостаточно. Сравним координаты как числа, учитывая, что на координатной прямой большему числу соответствует точка правее.

1. Запишем координаты точек: у C координата −4, у D — −1.
2. Сравним числа: −1 > −4, потому что −1 ближе к нулю и больше −4.
3. Точке с большей координатой соответствует положение правее, значит, правее расположена D.

Ответ: правее расположена точка D(−1). Для отрицательных чисел нельзя сравнивать только расстояние от нуля: надо сравнить сами числа. Чем ближе отрицательная координата к нулю, тем она больше и тем правее находится точка.

Задача. Найдите расстояние между точками E(−3) и F(5). Точки расположены по разные стороны от нуля, поэтому расстояние между ними включает отрезок от −3 до 0 и отрезок от 0 до 5. Удобно применить правило: расстояние равно модулю разности координат.

1. Обозначим координаты: у E это −3, у F это 5.
2. Вычтем координату E из координаты F: 5 − (−3) = 8.
3. Возьмём модуль разности: |5 − (−3)| = |8| = 8.

Ответ: расстояние между E и F равно 8 единицам. Вычитание отрицательного числа здесь превращается в сложение: 5 − (−3) = 5 + 3. Модуль гарантирует, что расстояние будет неотрицательным, даже если координаты вычесть в обратном порядке.

Типичные ошибки

Положительное направление иногда считают обязательно направленным вправо. Обычно выбирают именно так, но это договорённость, а не обязательное свойство прямой: при построении можно выбрать и противоположное направление. Ошибка появляется, когда привычное расположение принимают за единственно возможное. Проверь себя: посмотри на стрелку направления и определи знак относительно неё, а не только по положению на листе.

Можно ошибочно решить, что −4 правее 4, потому что число 4 больше по модулю. Но модуль показывает расстояние от нуля, а положение сравнивают по самим числам: −4 < 4, поэтому точка −4 левее. Такая ошибка возникает, когда знак минус не учитывают при сравнении. Проверь порядок чисел на прямой: чем больше число, тем правее соответствующая ему точка.

При отметке координаты иногда отсчитывают единичные отрезки от соседней точки, а не от начала отсчёта. Тогда положение новой точки зависит от того, что уже нарисовано, и может оказаться неверным. Ошибку легко допустить, если на прямой много отметок. Перед отсчётом найди O и начинай откладывать единицы именно от неё.

Вычитая координаты, можно получить отрицательное число и принять его за расстояние. Например, −3 − 5 = −8, но расстояние не может быть меньше нуля: отрицательный знак показывает только порядок вычитания. Ошибку устраняет модуль разности координат, который даёт неотрицательный результат. Проверь вычисление также обратным порядком: расстояние при перестановке точек не должно меняться.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой нужны знания натуральных, целых и рациональных чисел: на ней размещают как положительные, так и отрицательные числа и дроби. Также пригодятся сравнение чисел и понятие модуля, поскольку координаты помогают сравнивать точки, а модуль разности задаёт расстояние между ними. Координатная прямая станет опорой при изучении числовых неравенств: решения удобно представлять как точки или участки прямой. Она также помогает понимать уравнения и графики функций, где числам соответствуют точки и значения.

Что запомнить

• Координатная прямая задаётся началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком.
• Началу отсчёта соответствует число 0.
• Точки справа от начала отсчёта имеют положительные координаты, слева — отрицательные.
• Чем больше координата, тем правее расположена соответствующая точка.
• Каждой точке соответствует ровно одна координата, и каждому числу — ровно одна точка.
• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.