§ 4. Линейное уравнение с одной переменной

Определения и обозначения

Уравнение с одной переменной — это равенство, в котором есть переменная и которое может быть верным или неверным в зависимости от её значения. Решением уравнения считают такое значение переменной, при котором равенство становится верным. Например, в равенстве x + 2 = 5 решением будет число 3. Это понятие помогает точно сказать, какое значение нужно найти.

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно записать в виде ax + b = 0, где a и b — числа. Здесь a называют коэффициентом при переменной, а b — свободным членом, то есть слагаемым без переменной. Например, в уравнении 4x − 7 = 0 коэффициент a равен 4, а b равен −7. Такой вид позволяет быстро определить способ решения и число корней.

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение становится верным. Чтобы убедиться, что число действительно является корнем, его подставляют вместо переменной и сравнивают полученные части равенства. Например, для уравнения x + 2 = 5 подстановка x = 3 даёт 3 + 2 = 5. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях.

Равносильными называют уравнения, у которых одно и то же множество корней. При решении можно выполнять преобразования, только если они не меняют это множество. Например, прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет равенство и его решения. Это понятие объясняет, почему допустимые шаги позволяют перейти от исходного уравнения к более простому.

Как это устроено

Чтобы решить уравнение, сначала его приводят к виду ax + b = 0. Для этого раскрывают скобки: каждый член перед скобками умножают на каждый член внутри неё с учётом знаков. Затем слагаемые с переменной и числа упрощают, складывая подобные: например, 3x + 2x = 5x. После этих действий уравнение становится проще, но его решения должны остаться прежними.

Перенос слагаемого через знак равенства — короткая запись действия с обеими частями. Если к обеим частям равенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число либо выражение, равенство сохранится. Например, из 3x + 5 = 11 можно вычесть 5 с обеих сторон и получить 3x = 6. В записи «перенесли 5» это действие выглядит как перемена знака: слагаемое +5 становится −5.

Когда уравнение приведено к виду ax + b = 0, вычитают b из обеих частей и получают ax = −b. Если a не равно нулю, обе части можно разделить на a: деление на ненулевое число сохраняет равенство и не меняет его корни. Получается x = −b/a, поэтому при a ≠ 0 уравнение имеет ровно один корень. Ненулевое условие обязательно: делить на ноль нельзя.

Если a = 0, переменной в уравнении фактически уже нет, и дальнейший ответ зависит от b. При b = 0 получается 0 = 0, истинное равенство, поэтому подходит любое значение переменной. Если b ≠ 0, получается b = 0, то есть неверное равенство, и решений нет. Значит, нулевой коэффициент нельзя обрабатывать обычным делением — сначала нужно посмотреть, какое равенство осталось.

После решения полезно подставить найденный корень в исходное уравнение, а не только в его упрощённый вариант. При подстановке вычисляют левую и правую части отдельно и проверяют, равны ли они. Если равенства нет, значит, где-то могла возникнуть ошибка при раскрытии скобок, переносе или вычислениях. Такая проверка не заменяет решение, но помогает его проконтролировать.

Число корней уравнения ax + b = 0

Таблица показывает, как коэффициенты a и b определяют ответ. Сначала приведите исходное уравнение к виду ax + b = 0, затем определите, равен ли нулю коэффициент при переменной и свободный член. Для каждого случая используйте соответствующую строку.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение 3x − 12 = 0. Переменная уже отделена от скобок, и уравнение почти имеет нужный вид. Нужно убрать свободное слагаемое, а затем избавиться от множителя 3 перед x. На каждом шаге выполняем одно и то же действие с обеими частями.

1. Прибавим 12 к обеим частям: 3x = 12.
2. Разделим обе части на 3: x = 4.
3. Проверим подстановкой: 3 · 4 − 12 = 0, то есть левая часть равна правой.

Ответ: x = 4. Сначала мы оставили слагаемое с переменной в одной части, а затем разделили на его коэффициент. Подстановка подтвердила, что найденное число подходит.

Задача 2. Решите уравнение 2(3x − 1) = 4x + 10. Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть все слагаемые. Затем соберём выражения с переменной в одной части, а числа — в другой. Такой порядок упрощает уравнение и помогает не потерять знак при преобразованиях.

1. Раскроем скобки: 6x − 2 = 4x + 10.
2. Вычтем 4x из обеих частей: 2x − 2 = 10.
3. Прибавим 2 к обеим частям: 2x = 12.
4. Разделим обе части на 2: x = 6.
5. Проверим: 2(3 · 6 − 1) = 34, а 4 · 6 + 10 = 34.

Ответ: x = 6. Обе части исходного уравнения при подстановке дают 34. Значит, преобразования привели к верному корню.

Задача 3. Определите число корней уравнения 5(x − 2) + 3 = 5x − 7. Здесь нужно не просто решить уравнение, а выяснить, что останется после упрощения. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Если переменная сократится, сравним оставшиеся числа.

1. Раскроем скобки слева: 5x − 10 + 3 = 5x − 7.
2. Приведём подобные: 5x − 7 = 5x − 7.
3. Вычтем 5x из обеих частей: −7 = −7.
4. Получилось верное равенство, которое не зависит от x.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней — подходит любое число. После упрощения возникло тождество, а не уравнение с одним корнем. Поэтому здесь нельзя найти единственное значение переменной.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда меняют знак только у числа или только у переменной, например превращают 3x в −3x, но забывают изменить знак у всего слагаемого. Так происходит, если воспринимать перенос как механическое перемещение символов. Помните, что знак меняется у полного выражения: 3x становится −3x, а −5 — +5. Проверить шаг можно, записав вычитание или прибавление одного и того же выражения в обеих частях.

Деление обеих частей на коэффициент, равный нулю, недопустимо. Ошибка возникает, когда к уравнению применяют привычный алгоритм, не проверяя значение коэффициента. Перед делением посмотрите, действительно ли число перед переменной отлично от нуля. Если коэффициент равен нулю, разберите получившееся числовое равенство отдельно.

Нулевой коэффициент при переменной не всегда означает отсутствие корней. Можно ошибочно решить, что x исчезла — значит, решений нет, но после упрощения может получиться как неверное равенство, так и 0 = 0. Сравните обе части: равенство 0 = 0 верно при любом x, а равенство ненулевого числа нулю невозможно. Эта проверка сразу показывает множество корней.

Если не проверять ответ подстановкой, можно пропустить ошибку при раскрытии скобок или приведении подобных слагаемых. Часто причина — невнимательность со знаками, особенно перед скобками. Подставьте найденное значение в исходное уравнение и вычислите обе части. Если они не равны, проверьте каждый шаг решения, начиная с раскрытия скобок.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений нужны навыки действий с целыми и рациональными числами, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Без них трудно аккуратно упростить выражение и следить за знаками. Также решение опирается на свойства равенств: к обеим частям можно прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же выражение. Умножать или делить обе части можно только на ненулевое число.

Линейные уравнения помогают находить неизвестные величины в текстовых задачах: например, цену, расстояние или число предметов. Они также используются при решении систем уравнений, где нужно одновременно выполнить несколько условий. Поэтому умение преобразовывать уравнения пригодится и в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Линейное уравнение приводят к виду ax + b = 0.
• При a ≠ 0 уравнение имеет единственный корень x = −b/a.
• При a = 0 и b = 0 корнем является любое число.
• При a = 0 и b ≠ 0 уравнение корней не имеет.
• При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняют.
• Делить обе части уравнения можно только на ненулевое число.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой.