"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Математическая модель — это описание реальной ситуации с помощью чисел, переменных, формул, уравнений или неравенств. Она помогает выделить главное, отбросить второстепенные детали и решить практическую задачу математическими способами. После решения нужно вернуть результат к исходной ситуации и проверить, имеет ли он смысл. Модели используют в задачах о покупках, движении, геометрии, работе и во многих науках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — математическое описание существенных свойств реального объекта, процесса или ситуации, составленное для решения поставленной задачи. Она не копирует всё происходящее, а оставляет только нужные величины и связи. Благодаря этому жизненную ситуацию можно исследовать с помощью формул, уравнений, неравенств или графиков.
Математическое моделирование — последовательность построения, исследования и проверки математической модели реальной ситуации. Сначала выясняют, что известно и что требуется найти, затем записывают зависимости и решают полученную задачу. После этого результат сопоставляют с условием, чтобы понять, подходит ли выбранное описание.
Объект моделирования — предмет, процесс или явление, свойства которого изучают с помощью математической модели. Им может быть товар, участок, движение велосипедиста или изменение температуры. Такое понятие помогает отделить реальную ситуацию от её математического описания.
Адекватность модели — соответствие результатов, полученных по модели, реальной ситуации в пределах принятых условий и допущений. Например, модель движения с постоянной скоростью подходит только тогда, когда изменением скорости можно пренебречь. Проверка адекватности показывает, можно ли доверять найденному ответу.
В практической задаче обычно много деталей, но не все влияют на ответ. Поэтому выделяют существенные величины и связи между ними, а второстепенные особенности временно отбрасывают. Это упрощает задачу и позволяет применить известные математические методы без потери главного смысла.
Словесное условие переводят на математический язык: вводят переменные, записывают их смысл и единицы измерения. Затем зависимость выражают формулой, уравнением, неравенством или системой. Такой перевод превращает вопрос «что произошло?» в точную задачу, которую можно вычислить и проверить.
Одна ситуация может иметь несколько моделей, потому что исследователь ставит разные цели и делает разные допущения. Для приблизительной оценки движения достаточно считать скорость постоянной, а для точного исследования придётся учитывать её изменение. Поэтому модель выбирают не вообще, а под конкретный вопрос.
После построения модели получают математическую задачу и решают её известными способами. Найденные числа нельзя оставлять без объяснения: их переводят обратно на язык исходной ситуации. Если переменная обозначала ширину в метрах, ответ должен сообщать ширину участка, а не только значение переменной.
Ответ проверяют по смыслу, допустимости и соответствию реальным условиям. Отрицательная длина, слишком большая скорость или неподходящая единица измерения указывают на ошибку либо на неверную модель. При необходимости изменяют допущения, уточняют зависимости и строят модель заново.
| Этап | Что делают | Результат |
|---|---|---|
| Анализ ситуации | Определяют объект, цель и известные условия | Выделены существенные величины и связи |
| Введение обозначений | Выбирают переменные и указывают их смысл и допустимые значения | Составлен математический язык задачи |
| Построение модели | Записывают формулу, уравнение, неравенство или систему отношений | Получена математическая модель |
| Решение модели | Решают полученную математическую задачу | Найдены математические значения |
| Интерпретация и проверка | Возвращаются к условию и оценивают смысл ответа | Сделан вывод о ситуации и проверена адекватность модели |
Таблицу удобно использовать как план решения текстовой задачи. Нельзя пропускать введение обозначений и проверку, даже если вычисления кажутся простыми. Каждый этап связывает реальную ситуацию с математическим результатом.
После повышения цены на 20% товар стал стоить 600 рублей. Требуется найти первоначальную цену. Повышение на 20% означает, что новая цена составляет 120% первоначальной.
Ответ: первоначальная цена товара равна 500 рублей.
Периметр прямоугольного участка равен 60 м, а длина на 8 м больше ширины. Нужно определить размеры и учесть, что обе стороны положительны. Одной переменной достаточно, потому что длина выражается через ширину.
Ответ: ширина участка 11 м, длина 19 м.
Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Расстояние равно 120 км, скорости относятся как 2:5, встреча произошла через 2 часа. Обозначим одну часть отношения переменной, чтобы найти обе скорости.
Ответ: скорости участников равны 120/7 км/ч и 300/7 км/ч. Проверка: за два часа суммарный путь равен 120 км.
Переменную вводят без указания её смысла и единиц измерения. Так происходит, когда ученик сразу начинает считать и забывает, что одно и то же число может обозначать рубли, метры или километры. Проверьте себя: после записи переменной должно быть понятно, какую величину она описывает.
В модель переносят условие с неверным знаком или зависимостью. Например, повышение на 20% заменяют умножением на 0,2, хотя новая цена равна 1,2x. Спросите себя, что именно увеличивается, уменьшается или сравнивается, и проверьте запись на простом числовом примере.
Полученный математический корень сразу записывают в ответ. Отрицательная ширина или время не подходят реальной задаче, даже если уравнение решено без ошибок. Подставьте значение в исходное условие и проверьте допустимость, единицы измерения и смысл результата.
Любую формулу считают точной моделью без учёта допущений. Например, формула пути s = vt описывает движение с постоянной скоростью, а в реальности скорость может меняться. Назовите условия применения модели и решите, достаточно ли её точности для поставленной задачи.
До изучения темы нужны смысл переменной, действия с числовыми выражениями, формулы, уравнения, неравенства и единицы измерения. С текстовыми задачами модель связана напрямую: условия о движении, работе, покупках и геометрии переводятся в математические зависимости. Дальше этот подход пригодится при изучении функций, систем уравнений, вероятности, геометрии, физики и практических задач.
Чем математическая модель отличается от обычной формулы?
Формула обычно выражает зависимость между величинами, например S = vt. Математическая модель шире: она включает выбранные величины, их ограничения, связи и допущения, необходимые для описания конкретной ситуации.
Как понять, какую величину выбрать за переменную?
Выбирайте величину, которую проще всего выразить через условие задачи или через неё выразить остальные данные. Обязательно укажите её смысл, единицы измерения и допустимые значения.
Почему для одной ситуации можно составить несколько разных моделей?
Модель зависит от цели исследования и от того, какие детали считают существенными. Например, движение можно описывать только расстоянием и временем или дополнительно учитывать изменение скорости.
Нужно ли проверять ответ, если уравнение решено правильно?
Да, потому что математический корень может не подходить исходной ситуации. Нужно проверить вычисления, допустимость значения, единицы измерения и выполнение условия задачи.
Как определить, что математическая модель соответствует реальной задаче?
Подставьте найденные значения в исходные зависимости и проверьте, дают ли они описанный результат. Затем оцените, не нарушены ли ограничения и допущения, принятые при построении модели.
§ 3. Что такое математическая модель
