"Алгебра", Мордкович А.Г.
Математическая модель — это описание ситуации с помощью чисел, букв и математических действий. Она помогает выделить важные для задачи величины и связи между ними, а затем рассуждать точнее и находить ответ. Моделирование проходит несколько этапов: нужно понять, что известно и что требуется найти, записать математические отношения, решить полученную задачу и проверить результат в исходной ситуации. Одну ситуацию можно описать разными моделями — выбор зависит от цели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — математическое описание ситуации, которое сохраняет важные для задачи связи между величинами. Например, число карандашей в одинаковых коробках можно описать умножением. Модель нужна, чтобы заменить длинное условие короткой и ясной записью.
Математическое моделирование — процесс построения и использования математической модели для изучения ситуации и решения задачи. Сначала условие переводят на язык чисел, букв и действий, затем решают полученную математическую задачу. Этот процесс помогает перейти от реального вопроса к понятным вычислениям.
Объект моделирования — реальная ситуация, предмет или процесс, который описывают с помощью модели. Им может быть покупка, движение или распределение предметов. Это понятие помогает определить, какую именно ситуацию мы описываем, чтобы не оторвать вычисления от условия.
Адекватность модели — соответствие модели исходной ситуации в тех пределах, которые важны для поставленной задачи. Модель не обязана описывать всё происходящее, но она должна сохранять нужные связи. Проверка адекватности помогает понять, можно ли доверять полученному ответу.
Реальную ситуацию заменяют моделью, потому что в условии часто есть подробности, не нужные для ответа. Если выделить существенные величины и связи между ними, можно сосредоточиться на математической стороне вопроса. Например, при подсчёте карандашей важны число коробок и количество карандашей в каждой, а цвет коробок обычно не важен. Такая замена упрощает рассуждение, не меняя нужного для задачи смысла.
Чтобы перейти от условия к модели, сначала выясняют, что известно и что требуется найти. Неизвестную величину обозначают буквой и поясняют, что эта буква означает. Затем записывают отношения из условия: например, если цена одной вещи известна, а покупок x, общую стоимость можно выразить умножением. Так появляется математическая задача, которую уже можно решать привычными способами.
Модель зависит от цели, потому что у одного объекта есть много свойств, а в каждой задаче важны только некоторые. Для поездки можно учитывать время и расстояние, а для подсчёта стоимости билетов — их цену и количество. Если выбрать свойства, не связанные с вопросом, модель не поможет найти ответ. Поэтому перед записью полезно спросить себя, какие сведения действительно влияют на то, что нужно узнать.
Полный ход моделирования включает не только составление уравнения или вычисление. Сначала формулируют вопрос, затем строят модель и решают полученную математическую задачу. После этого результат соотносят с исходной ситуацией: выясняют, что он означает, и записывают ответ словами. Последний шаг нужен, чтобы математическое число стало ответом именно на вопрос задачи.
Математическое решение нужно проверять на смысл, потому что формально правильное вычисление не всегда даёт подходящий ответ. Например, в задаче о количестве предметов отрицательное число или часть предмета может противоречить условию. Иногда проверка показывает, что неверно составлено уравнение или в модели не учтено важное обстоятельство. Тогда нужно уточнить модель и решить задачу заново.
| Этап | Что делают | Что получают |
|---|---|---|
| Постановка задачи | Выделяют известные и неизвестные величины, уточняют вопрос задачи | Формулировку того, что нужно найти |
| Построение модели | Обозначают величины и записывают связи между ними | Математическую задачу |
| Решение модели | Применяют подходящий математический способ | Математический результат |
| Проверка и интерпретация | Проверяют результат по условию и отвечают на вопрос задачи | Ответ для исходной ситуации |
Читайте таблицу сверху вниз: каждый этап готовит результат, нужный для следующего. Если на проверке ответ не подходит условию, вернитесь к модели и проверьте, верно ли записаны связи. Так таблица помогает не пропустить переход от вычислений к ответу.
В одной коробке 8 карандашей. Нужно узнать, сколько карандашей в трёх таких коробках. Коробки одинаковые, поэтому число карандашей в каждой повторяется три раза.
Равенство 3 · 8 — простая математическая модель этой ситуации. Ответ: в трёх коробках 24 карандаша.
Каждая тетрадь стоит 25 рублей, а за покупку заплатили 150 рублей. Требуется узнать количество тетрадей, поэтому обозначим его буквой x. Общая стоимость равна цене одной тетради, умноженной на количество.
Значение x подходит условию: за шесть тетрадей действительно заплатили 150 рублей. Ответ: купили 6 тетрадей.
В двух корзинах 34 яблока, причём во второй на 6 яблок больше, чем в первой. Обозначим число яблок в первой корзине буквой x. Тогда во второй корзине x + 6 яблок, а вместе — 34.
Оба значения соответствуют условию и вместе дают нужное количество. Ответ: в первой корзине 14 яблок, во второй — 20.
Начинать вычисления, не выяснив, что требуется найти, — значит рисковать решить не ту задачу. Так бывает, когда числа в условии сразу подсказывают знакомое действие. Перед вычислениями сформулируйте вопрос своими словами и проверьте, что модель отвечает именно на него.
Если обозначить неизвестную буквой, но не пояснить её значение, легко перепутать величины или неправильно составить уравнение. Причина часто в том, что смысл буквы кажется очевидным во время решения. Запишите рядом: «Пусть x — …», а после решения проверьте, отвечает ли найденное значение на исходный вопрос.
Неверно переданные слова «на больше», «в несколько раз» или «всего» меняют смысл модели. Например, «на 6 больше» означает прибавить 6, а не умножить на 6. Чтобы проверить себя, перескажите каждую математическую запись обычными словами и сравните её с условием.
Математический результат нельзя сразу считать окончательным ответом: он может противоречить ситуации или не иметь нужного смысла. Например, количество предметов не может быть отрицательным. Подставьте найденное значение в условие, проверьте все связи и только потом сформулируйте ответ словами.
Для моделирования нужно уметь внимательно читать условие, находить известные и неизвестные величины и выполнять действия с числами. Эти навыки помогают перевести текст задачи в математическую запись и проверить вычисления. Если условие прочитано неверно, правильные действия тоже могут привести не к тому ответу.
Моделирование особенно пригодится при составлении и решении уравнений, а также при решении текстовых задач в следующих темах алгебры. Оно помогает понять, откуда берётся уравнение и что означает его корень в условии. Поэтому важно не только получить значение неизвестной, но и истолковать его.
Что такое математическая модель?
Это математическое описание ситуации, в котором сохранены важные для задачи величины и связи между ними. Например, равенство 3 · 8 описывает число карандашей в трёх одинаковых коробках, если в каждой по 8 карандашей.
Зачем составлять модель, если условие задачи и так понятно?
Модель помогает отделить важные данные от второстепенных и ясно увидеть, как величины связаны. Благодаря этому легче выбрать действия или составить уравнение, а затем проверить решение.
Как понять, какую величину обозначить буквой?
Буквой обычно обозначают неизвестную величину, о которой спрашивают в задаче. Перед записью модели поясните, что именно означает буква, и проверьте, что она соответствует вопросу.
Почему после решения уравнения нужно вернуться к условию задачи?
Уравнение даёт математическое значение, но оно не всегда подходит исходной ситуации. Нужно проверить, соответствует ли результат условию и имеет ли смысл, а затем ответить на вопрос задачи.
Может ли у одной ситуации быть несколько математических моделей?
Да, потому что модель зависит от того, какие свойства ситуации важны для задачи. Например, покупку можно описать через количество и цену, а при подсчёте времени в пути важны расстояние и скорость.
§ 3. Что такое математическая модель
