§ 4. Линейное уравнение с одной переменной

Определения и обозначения

Уравнение с одной переменной — равенство с переменной, значение которой требуется найти. Например, в записи 3x − 5 = 10 переменная — x, а обе части должны оказаться равными при подходящем значении. Такое определение помогает отличать уравнение от обычного числового равенства. Задача состоит не в том, чтобы вычислить неизвестное наугад, а в том, чтобы найти значения, при которых равенство верно.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Если подставить в 3x − 5 = 10 число 5, получится 15 − 5 = 10, то есть верное равенство. Понятие корня позволяет точно описать результат решения. Ответом могут быть один корень, несколько корней, любое значение переменной или отсутствие корней.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни. Например, уравнения x + 4 = 9 и x = 5 равносильны: оба имеют единственный корень 5. Равносильность нужна, чтобы упрощать уравнение, не меняя его ответа. После каждого преобразования важно сохранять именно множество корней исходного уравнения.

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно записать в виде ax = b, где a и b — числа, а x — переменная. Например, выражение со скобками может сначала выглядеть сложнее, но после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых сводится к такому виду. Эта форма показывает, какое действие поможет найти x. При этом отдельно нужно проверить, не оказался ли коэффициент a равен нулю.

Как это устроено

Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Сначала уравнение упрощают, чтобы увидеть, к какому виду оно сводится. Найденное значение проверяют подстановкой в исходную запись, потому что при вычислениях легко допустить ошибку. Если обе части после подстановки равны, значение действительно является корнем.

Чтобы привести уравнение к виду ax = b, сначала раскрывают скобки, а затем приводят подобные слагаемые — складывают слагаемые с одинаковой переменной и отдельно складывают числа. Например, в 2(3x − 1) = 4x + 8 раскрытие скобок даёт 6x − 2 = 4x + 8. После упрощения переменные и числа удобно собрать в разных частях равенства. Так становится виден коэффициент при x и можно выбрать дальнейшее действие.

Основа преобразований — свойства равенства: если к равным величинам прибавить одно и то же выражение или из них вычесть его, равенство сохранится. Поэтому можно выполнить такое действие с обеими частями уравнения, не меняя его корней. Умножать или делить обе части также можно на одно и то же число, но делить разрешается только на ненулевое. Эти правила объясняют, почему преобразования дают уравнение, равносильное исходному.

Перенос слагаемого через знак равенства — не отдельное волшебное правило, а сокращённая запись прибавления противоположного числа к обеим частям. Например, в x − 5 = 10 прибавим 5 слева и справа: x − 5 + 5 = 10 + 5, значит, x = 15. При короткой записи говорят, что −5 перенесли вправо и записали +5. Знак меняется именно потому, что к обеим частям прибавили противоположное число.

Когда уравнение получено в виде ax = b, число корней зависит от значения a. Если a ≠ 0, обе части можно разделить на a и получить единственный корень x = b/a. Если a = 0, делить на коэффициент нельзя: левая часть равна нулю при любом x, поэтому сравнивают её с b. При b ≠ 0 равенство невозможно, а при b = 0 оно верно для любого значения переменной.

Число корней уравнения ax = b

Сначала найди коэффициент a и число b в записи ax = b, а затем выбери подходящую строку таблицы. Если a не равно нулю, раздели b на a; если a равно нулю, сравни правую часть с нулём. Такой порядок помогает не делить на ноль и правильно определить число корней.

Разбор задач

Задача 1

Решите уравнение 3x − 5 = 10. Здесь x умножено на 3, а затем из результата вычли 5. Чтобы оставить слагаемое с x, сначала отменим вычитание, а потом умножение. После этого проверим ответ подстановкой в исходную запись.

1. Прибавим 5 к обеим частям: 3x − 5 + 5 = 10 + 5, поэтому 3x = 15. Равенство корней при этом сохраняется, так как выполнено одно и то же действие с обеих сторон.
2. Разделим обе части на 3: 3x/3 = 15/3, значит, x = 5. Делить можно, потому что число 3 не равно нулю.
3. Проверим ответ в исходном уравнении: 3 · 5 − 5 = 15 − 5 = 10. Получили верное равенство, поэтому найденное значение подходит.

Ответ: x = 5. Обратные действия помогли по очереди убрать из выражения сначала вычитание, затем умножение на 3. Проверка показывает, что ответ удовлетворяет именно исходному уравнению.

Задача 2

Решите уравнение 2(3x − 1) = 4x + 8. Перед переносом слагаемых раскроем скобки, потому что внешний множитель 2 относится к каждому слагаемому внутри них. Затем соберём слагаемые с x слева, а числа — справа. Так уравнение станет проще и позволит найти переменную делением.

1. Раскроем скобки: 2 · 3x − 2 · 1 = 4x + 8, значит, 6x − 2 = 4x + 8. Оба слагаемых в скобках умножены на 2.
2. Вычтем 4x из обеих частей: 2x − 2 = 8. Члены с переменной теперь находятся в левой части, а равенство осталось равносильным.
3. Прибавим 2 к обеим частям: 2x = 10. Теперь разделим обе части на 2 и получим x = 5.
4. Проверим подстановкой: 2(3 · 5 − 1) = 2 · 14 = 28, а 4 · 5 + 8 = 28. Части равны, значит, ответ верен.

Ответ: x = 5. Сначала упрощение раскрыло скобки, затем равносильные преобразования оставили переменную отдельно. Подстановка в исходное уравнение подтвердила найденный корень.

Задача 3

Определите число корней уравнения 4(x − 2) = 4x − 8. Здесь требуется не обязательно найти конкретное значение x, а выяснить, сколько значений подходят. Раскроем скобки и сравним полученные части. Если переменные сократятся, итоговое равенство покажет, подходят все значения или ни одно.

1. Раскроем скобки слева: 4x − 8 = 4x − 8. Множитель 4 умножен и на x, и на −2.
2. Вычтем 4x из обеих частей: −8 = −8, или 0x = 0. Получилось верное равенство, которое не ограничивает значение переменной.
3. Сделаем вывод: при любом x левая и правая части исходного уравнения равны. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: подходит любое значение x. Это не один конкретный корень, потому что переменная исчезла, а осталось верное равенство. Для сравнения, равенство 0x = 7 было бы неверным при любом x и корней не имело бы.

Типичные ошибки

При переносе слагаемого иногда меняют знак, но забывают, что за этой записью стоит действие с обеими частями уравнения. Так происходит, если запомнить формулировку «перешло через знак равенства» без её смысла. Проверь преобразование, записав прибавление противоположного числа к обеим частям. Например, переход от x − 5 = 10 к x = 15 основан на прибавлении 5 слева и справа.

Делить обе части на коэффициент при переменной можно лишь после проверки, что он не равен нулю. Иногда ученик сразу делит на найденное число, забывая рассмотреть случай, когда оно равно нулю. Если коэффициент нулевой, сравни обе части полученного равенства: 0x = 0 верно при любом x, а 0x = b при b ≠ 0 невозможно. Проверка коэффициента до деления предотвращает потерю всех корней или появление недопустимого действия.

При раскрытии скобок часто умножают внешний множитель только на первое слагаемое или теряют знак минус. Причина — невнимательность к тому, что множитель относится ко всему выражению в скобках. Раскладывай действие отдельно на каждом слагаемом: 2(3x − 1) = 2 · 3x − 2 · 1. После этого можно проверить, что полученное выражение при раскрытии скобок совпадает с исходным.

Иногда после упрощения уравнения 0x = 0 или 0x = b при b ≠ 0 записывают один ответ. Это случается, если ожидать, что у любого уравнения обязательно есть единственный корень. Сравни обе части: первое равенство верно для любого x, а второе не выполняется ни при каком x. Значит, ответом в первом случае будет любое число, а во втором — отсутствие корней.

Связь с другими темами

Для решения линейных уравнений нужно уметь раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и выполнять действия с отрицательными числами. Эти навыки помогают упростить запись до вида ax = b, не меняя её смысла. Линейные уравнения пригодятся в текстовых задачах: неизвестную величину обозначают переменной и составляют равенство по условию. Равносильные преобразования будут полезны и дальше — при изучении систем уравнений и других видов уравнений.

Что запомнить

• Корень уравнения — значение переменной, обращающее равенство в верное.
• При решении уравнения важно сохранять множество его корней.
• К обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же выражение.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
• Уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет корень x = b/a.
• Уравнение 0x = b при b ≠ 0 корней не имеет.
• Уравнение 0x = 0 верно при любом значении x.