"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Линейное уравнение с одной переменной — это равенство, которое после упрощения можно записать в виде ax = b. Решить его — значит найти все значения переменной, при которых равенство верно. Если коэффициент a не равен нулю, корень один: x = b/a. Если a равно нулю, уравнение может не иметь корней или быть верным при любом значении x. Такие уравнения помогают находить неизвестные в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, то есть неизвестное число, которое обозначают буквой. Например, в записи 2x + 3 = 9 переменная — x. Решить уравнение означает найти все значения переменной, при которых равенство становится верным. Это нужно, чтобы выяснить, какое число скрывается за неизвестной величиной.
Корень уравнения — значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство. Например, число 3 — корень уравнения x + 2 = 5, потому что 3 + 2 = 5. У уравнения может быть один корень, несколько корней или ни одного. Понятие корня помогает точно описать результат решения, а не просто выполнить преобразования.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощений можно привести к виду ax = b. Здесь x — переменная, а a и b — числа; буква a называется коэффициентом при переменной. Например, уравнение 2x + 3 = 9 после переноса числа принимает такой вид. Это определение подсказывает, к какой простой записи нужно стремиться при решении.
Равносильными называют уравнения, у которых одни и те же корни. Например, уравнения x + 4 = 7 и x = 3 равносильны: каждое из них имеет корень 3. При решении мы заменяем исходное уравнение более простым, стараясь сохранить его корни. Поэтому важно выполнять только такие преобразования, которые не меняют набор решений.
Чтобы привести уравнение к виду ax = b, сначала раскрывают скобки, если они есть, а затем приводят подобные слагаемые. Подобные слагаемые содержат одинаковую переменную в одинаковой степени или являются числами, поэтому их можно складывать и вычитать. После упрощения переменные собирают в одной части уравнения, а числа — в другой. Так сложная запись постепенно превращается в простое равенство с одним слагаемым, содержащим x.
Перенос слагаемого через знак равенства — это сокращённая запись действия над обеими частями уравнения. Например, если из левой части нужно убрать число 7, можно вычесть 7 и слева, и справа: равенство сохранится. При записи результата число оказывается справа со знаком минус. Поэтому при переносе знак меняется: на самом деле слагаемое заменяют противоположным, выполняя одинаковое действие с обеими частями.
Если после упрощения получилось ax = b и a ≠ 0, обе части можно разделить на a. Деление на одно и то же ненулевое число сохраняет равенство, поэтому получаем x = b/a. Это значение является единственным корнем: при другом x произведение ax уже не будет равно b. Перед делением обязательно проверяют, что коэффициент не равен нулю.
Если a = 0, делить на коэффициент нельзя, поэтому рассматривают получившееся числовое равенство. При b ≠ 0 получается 0 = b — неверное утверждение, значит, корней нет. При b = 0 получается 0 = 0, и это равенство верно при любом значении x. Так один и тот же вид ax = b может привести к отсутствию решений или к бесконечному множеству решений.
Найденное значение проверяют подстановкой в исходное уравнение, а не только в промежуточную запись. Вместо переменной ставят найденное число и вычисляют обе части отдельно. Если результаты одинаковы, подстановка подтверждает, что число является корнем исходного уравнения. Если части не равны, значит, при решении или вычислениях допущена ошибка.
| Условие | Полученное равенство | Число корней | Результат |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | x = b/a | Один | Корень x = b/a |
| a = 0, b ≠ 0 | 0 = b | Ни одного | Уравнение не имеет корней |
| a = 0, b = 0 | 0 = 0 | Бесконечно много | Подходит любое значение x |
Сначала проверь значение коэффициента a, а затем сравни его с нулём и определи, какой случай подходит. Если a не равен нулю, найди частное b/a; если a равен нулю, оцени, верно ли оставшееся равенство. Такая проверка не позволяет ошибочно делить на ноль.
Здесь переменная уже отделена от скобок, поэтому достаточно перенести число −7 и затем избавиться от коэффициента 3. После каждого преобразования равенство должно сохраняться. Запишем решение по шагам.
Ответ: 5.
Сначала раскроем скобки, чтобы можно было собрать слагаемые с x. Затем переменные перенесём в одну часть, а числа — в другую. Так получим уравнение вида ax = b и сможем найти корень.
Ответ: 6.
В этой задаче требуется не найти конкретное число, а понять, сколько решений имеет уравнение. Раскроем скобки и упростим обе части. Если переменная исчезнет, сравним оставшиеся равенства.
Такое равенство верно при любом значении переменной, поэтому корней бесконечно много. Ответ: подходит любое значение x.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Обычно это происходит потому, что переносят его мысленно, забывая об исходном действии над обеими частями. Чтобы проверить себя, выполни действие явно: прибавь или вычти одно и то же выражение слева и справа, а затем запиши полученный знак.
Нельзя делить обе части уравнения на коэффициент при переменной, пока не проверено, что он не равен нулю. Деление на ноль не определено, поэтому такой шаг не может привести к решению. Сначала приведи уравнение к виду ax = b и отдельно рассмотри оба случая: a равно нулю или не равно нулю.
Ошибка при раскрытии скобок часто появляется, если перед ними стоит минус: меняют знак только у первого слагаемого или вовсе забывают его изменить. Знак перед скобками относится ко всем слагаемым внутри неё. Для самопроверки раскрой скобки по одному слагаемому и проверь результат обратным умножением.
Равенство 0 = 0 иногда принимают за отсутствие корней, потому что переменная исчезла. Но это равенство верно, а значит, подходит любое значение x. Отличай его от неверного равенства 0 = b при b ≠ 0: в последнем случае решений действительно нет. Проверка полученного числового равенства помогает сделать верный вывод.
Для решения линейных уравнений нужны свойства равенств: одинаковое действие над обеими частями сохраняет равенство. Также пригодятся правила действий с положительными и отрицательными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти умения позволяют преобразовывать уравнение без изменения его корней. Если одно из них забыто, ошибка может появиться ещё до поиска решения.
Линейные уравнения используют при составлении математической записи по условию задачи: неизвестную величину обозначают буквой и выражают через неё известные данные. Умение решать такие уравнения также станет основой для изучения систем уравнений. В системе нужно найти значения нескольких переменных, которые одновременно удовлетворяют нескольким уравнениям. Поэтому навык преобразования и проверки уравнений пригодится и дальше.
Что называется корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Чтобы проверить число, подставь его вместо переменной.
Как привести уравнение к виду ax = b?
Сначала раскрой скобки и приведи подобные слагаемые. Затем собери слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой, и упрости обе части.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия, которое выполняют с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, к обеим частям прибавляют противоположное ему число или выражение.
Что делать, если коэффициент при переменной равен нулю?
Не дели обе части на ноль: такое деление невозможно. После упрощения сравни оставшиеся числа: равенство 0 = b при b ≠ 0 решений не имеет, а равенство 0 = 0 верно при любом x.
Как проверить, правильно ли найден корень?
Подставь найденное значение переменной в исходное уравнение. Если после вычислений левая и правая части равны, значение действительно является корнем.
17. Линейное уравнение с одной переменной
