"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Линейное уравнение с одной переменной после упрощения сводится к записи ax = b, где x — неизвестное число, а a и b — известные числа. Решить такое уравнение — значит найти все значения x, при которых равенство верно, или доказать, что таких значений нет. Для решения раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и выполняют одинаковые действия с обеими частями. Если коэффициент при x не равен нулю, корень единственный; если он равен нулю, ответ зависит от правой части.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно привести к виду ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. Например, уравнение со скобками может выглядеть сложнее, но после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых оно тоже сводится к этой форме. Определение помогает понять, какие уравнения можно решить одним общим способом.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если подставить найденное число в обе части, их значения должны совпасть. Понятие корня нужно, чтобы отличать решение от просто выполненных преобразований: в конце важно получить значение, которое действительно подходит исходному уравнению.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда подходит ровно одно число, иногда — любое число, а иногда не подходит ни одно. Поэтому при решении нужно выяснить не только значение переменной, но и количество возможных ответов.
Равносильные уравнения — уравнения с одинаковыми корнями. Например, если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, корни сохранятся, и новое уравнение будет равносильным исходному. Это понятие позволяет выполнять преобразования и быть уверенным, что решения не потерялись и не добавились.
Чтобы привести уравнение к виду ax = b, сначала раскрывают скобки, а затем складывают слагаемые одного вида. Например, 2(x + 3) − x = 9 превращается в 2x + 6 − x = 9, а после приведения подобных — в x + 6 = 9. Такие действия нужны, чтобы собрать все слагаемые с переменной и числа отдельно, а не менять значение равенства. В итоге остаётся простая запись, по которой сразу видно, как найти x.
Прибавление одного и того же числа к обеим частям уравнения сохраняет корни, потому что равные числа остаются равными после прибавления одинаковой величины. Например, из x − 5 = 8 можно получить x − 5 + 5 = 8 + 5, то есть x = 13. Слева слагаемые −5 и +5 взаимно уничтожаются, а справа значение изменяется на ту же величину. Поэтому короткая запись «перенести −5 вправо и заменить на +5» не меняет решений.
Умножение обеих частей на одно число также сохраняет равенство: если две величины равны, то равны и их произведения на один и тот же множитель. Деление действует так же, когда делитель не равен нулю. Нулём делить нельзя, а умножение на ноль стирает различие между разными значениями и может изменить множество корней. Поэтому в преобразованиях используют только ненулевой множитель или делитель.
Если a ≠ 0, уравнение ax = b решают делением обеих частей на a: ax/a = b/a. Слева множитель a сокращается, и остаётся x = b/a. Другого значения быть не может, потому что при ненулевом a умножение на a однозначно задаёт результат. Значит, уравнение имеет ровно один корень.
При a = 0 левая часть ax равна нулю при любом x, поэтому уравнение становится 0 = b. Если b тоже равно нулю, получаем верное равенство 0 = 0, которое подходит при любом значении переменной. Если b не равно нулю, равенство 0 = b неверно при любом x, и корней нет. Так коэффициенты позволяют определить количество решений ещё до подстановки чисел.
| Условие | Вид уравнения | Количество корней | Результат |
|---|---|---|---|
| a ≠ 0 | ax = b | Один | x = b/a |
| a = 0, b = 0 | 0x = 0 | Бесконечно много | Любое число — корень |
| a = 0, b ≠ 0 | 0x = b | Ни одного | Корней нет |
Сначала приведи уравнение к виду ax = b, затем определи, равен ли нулю коэффициент a. Если он ненулевой, раздели b на a; если равен нулю, проверь b. Таблица помогает не спутать уравнение с единственным корнем и случаи, когда подходят все числа или ни одно.
Задача 1. Решите уравнение 5x − 7 = 18. Здесь переменная уже отделена от скобок, поэтому нужно убрать числовое слагаемое −7, а затем освободить x от множителя 5. Каждое действие выполняем с обеими частями, чтобы сохранить корни.
Ответ: x = 5. Проверка показывает, что найденное значение подходит исходному уравнению, а ненулевой коэффициент при x означает, что корень только один.
Задача 2. Решите уравнение 3(x − 2) = 2x + 5. Сначала нужно раскрыть скобки, иначе нельзя правильно собрать слагаемые с x. Затем переменные удобно перенести в одну часть, а числа — в другую, пользуясь одинаковым действием над обеими частями.
Ответ: x = 11. После упрощения получилось уравнение с ненулевым коэффициентом при x, поэтому найден один корень.
Задача 3. Определите, сколько корней имеет уравнение 4(x + 1) = 4x + 4, и проверьте ответ подстановкой. Чтобы узнать число корней, раскроем скобки и сравним обе части. Если после упрощения переменная исчезнет, проверим, осталось верное равенство или неверное.
Ответ: бесконечно много корней, корнем является любое число. Уравнение после упрощения стало тождеством, то есть равенством, верным при любом значении переменной.
При переносе слагаемого иногда оставляют его прежний знак. Это происходит, если забыть, что «перенос» означает прибавление противоположного числа к обеим частям. Проверяй преобразование полной записью: например, из x − 4 = 7 после прибавления 4 получается x = 11.
Деление на выражение, которое может быть нулём, способно убрать подходящий корень. Ошибка возникает, когда делят на переменную, не проверив её значение. Перед делением выясни, гарантированно ли делитель ненулевой; если это не так, рассмотри отдельно случай, когда он равен нулю.
При раскрытии скобок забывают умножить внешний множитель на одно из слагаемых внутри. Обычно внимание сосредоточено на первом слагаемом, и второе остаётся без изменений. Проверь каждое произведение отдельно: в записи 3(x − 2) должны появиться и 3x, и −6.
Уравнение 0x = 0 иногда принимают за уравнение с одним корнем, хотя переменная в нём вообще не ограничена. Так происходит, если не проверить, зависит ли равенство от x. Подставь любое число: обе части останутся нулём, значит, подходит каждое число и корней бесконечно много.
Для решения линейных уравнений нужны действия с целыми и рациональными числами: с ними приходится складывать, вычитать, умножать и делить. Также важно уметь раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить уравнение вида ax = b. Эти навыки помогают выполнять преобразования без потери корней.
Линейные уравнения используют при решении текстовых задач: неизвестную величину обозначают переменной и составляют равенство по условию. К этому же виду можно свести более сложные на вид уравнения после упрощения. Поэтому освоенный способ становится основой для дальнейших задач и уравнений.
Как понять, что уравнение линейное?
Если после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение можно записать как ax = b, оно линейное. Переменная при этом не должна иметь степени выше первой.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос — это короткая запись действия: к обеим частям прибавляют число, противоположное переносимому слагаемому. Поэтому его знак меняется, а равенство сохраняется.
Можно ли делить обе части уравнения на переменную?
Нельзя делить на переменную, не проверив, что она не равна нулю. Если переменная может оказаться нулём, такое деление способно потерять корень.
Что означает, что уравнения равносильны?
Равносильные уравнения имеют одни и те же корни. Например, уравнение, полученное прибавлением одного числа к обеим частям исходного, равносильно ему.
Как определить, что уравнение имеет бесконечно много корней или не имеет корней?
Приведи уравнение к виду 0x = b. Если b = 0, равенство верно при любом x, поэтому корней бесконечно много; если b ≠ 0, получается неверное равенство 0 = b и корней нет.
§ 2 Линейное уравнение с одной переменной
