"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Линейное уравнение с одной переменной после упрощения сводится к виду ax = b, где x — неизвестное число, а a и b — известные числа. Решить такое уравнение — значит найти все значения переменной, при которых равенство верно. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и выполняют равносильные преобразования: они сохраняют корни. Если коэффициент при переменной не равен нулю, корень один; если он равен нулю, решений может быть бесконечно много или не быть вовсе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство с переменной, истинность которого зависит от её значения. Например, в записи x + 3 = 7 равенство верно не при любом x. Понятие уравнения помогает записывать неизвестные величины и искать значения, при которых условие выполняется.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство. В уравнении x + 3 = 7 корень — число 4: после подстановки получаем 4 + 3 = 7. Понятие корня нужно, чтобы точно сказать, какие значения решают уравнение.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Например, уравнения x + 2 = 5 и x = 3 равносильны, потому что оба имеют корень 3. Это понятие позволяет заменять исходное уравнение более простым, не теряя и не добавляя решений.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно привести к виду ax = b. Здесь x — переменная, а a и b — числа. Такой вид удобен тем, что по значениям коэффициентов можно определить, сколько корней у уравнения.
Чтобы проверить, является ли число корнем, подставь его вместо переменной во всё уравнение. Затем вычисли левую и правую части отдельно и сравни результаты. Если они равны, число подходит; если не равны — не подходит. Например, при x = 4 в уравнении x + 3 = 7 обе части равны 7.
Перед решением часто нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой переменной или только с числами. Скобки раскрывают по распределительному свойству: например, 2(x − 3) = 2x − 6. После упрощения собирают члены с x и числа, чтобы получить уравнение вида ax = b. Так становится видно, какое действие нужно выполнить дальше.
Перенос слагаемого в другую часть с изменением знака — это сокращённый способ выполнить одинаковое действие с обеими частями. Например, в x − 5 = 8 можно прибавить 5 и слева, и справа: x − 5 + 5 = 8 + 5. Получится x = 13, то есть слагаемое −5 как будто перенесли направо со знаком +5. Корни сохраняются, потому что прибавление одного и того же числа не меняет равенство.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число: если равные величины увеличить на одинаковое число, они останутся равными. Также обе части можно умножить на одно и то же число. Делить обе части допустимо только на ненулевое число: деление на ноль не определено. Эти действия называют равносильными преобразованиями, когда они сохраняют множество корней.
В уравнении ax = b сначала нужно посмотреть на коэффициент a. Если a ≠ 0, обе части делят на a и получают единственный корень x = b/a. Если a = 0, левая часть равна нулю при любом x: при b = 0 подходит любое число, а при b ≠ 0 равенство невозможно. Поэтому результат после упрощения может быть не одним корнем, а множеством всех чисел или отсутствием решений.
Таблица показывает, какие действия помогают упростить уравнение и почему при правильном выполнении решения не теряются. Выбирай преобразование, которое приближает запись к виду ax = b. Перед делением отдельно убедись, что делитель не равен нулю.
| Преобразование | Что выполняют | Почему корни сохраняются |
|---|---|---|
| Прибавление числа к обеим частям | К левой и правой частям прибавляют одно и то же число. | Равенство сохраняется, потому что обе части изменяются одинаково. |
| Перенос слагаемого в другую часть с изменением знака | Прибавляют к обеим частям противоположное слагаемое; коротко записывают перенос со сменой знака. | Это то же равносильное преобразование, поэтому множество корней не меняется. |
| Умножение обеих частей на одно и то же число | Умножают левую и правую части на одинаковый множитель. | При ненулевом множителе преобразование можно обратить делением на него. |
| Деление обеих частей на одно и то же ненулевое число | Делят обе части на число, которое не равно нулю. | Умножение на это число возвращает исходное равенство, поэтому корни те же. |
Задача 1. Решить уравнение 3x − 5 = 10. Сначала нужно оставить слагаемое с переменной отдельно. Затем разделить обе части на коэффициент при x и проверить результат подстановкой.
Ответ: x = 5.
Задача 2. Решить уравнение 2(x − 3) + 5 = 3x − 4. В уравнении есть скобки и переменные в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки. После упрощения соберём все слагаемые с x слева, а числовые — справа.
Ответ: x = 3.
Задача 3. Решить уравнение 4(x + 2) − 3x = x + 8 и объяснить результат. Здесь важно не остановиться, когда переменные исчезнут: нужно выяснить, получилось верное равенство или противоречие. Именно это покажет, есть ли корни.
Ответ: любое значение x.
При переносе слагаемого иногда забывают изменить его знак: например, из x − 5 = 8 ошибочно получают x = 8 − 5. Так происходит, если воспринимать перенос как отдельное действие, а не как прибавление противоположного числа к обеим частям. Проверка подстановкой сразу обнаружит ошибку: правильный корень здесь 13, и только он даёт равные части.
Нельзя делить обе части на выражение с переменной или на коэффициент, который может быть нулём. Например, деление на x могло бы убрать случай x = 0, а деление на ноль вообще невозможно. Перед делением проверь, что делитель — известное ненулевое число; если он зависит от x, сначала рассмотри случай, когда он равен нулю.
При раскрытии скобок перед минусом нужно изменить знак каждого слагаемого внутри скобок: −(x − 4) = −x + 4. Часто меняют знак только у первого слагаемого, потому что минус перед скобками принимают за знак одного члена. Для проверки можно умножить каждый член в скобках на −1, а затем сравнить полученную запись с исходной.
После упрощения не всегда получается один корень: может выйти 0x = 0 или 0x = 5. Если записать одно число, не разобравшись с этими случаями, можно пропустить все решения или ошибочно указать несуществующий корень. Сверь правую часть: при нуле подходят все x, а при ненулевом числе решений нет.
Для решения линейных уравнений нужно уверенно выполнять действия с рациональными числами, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Если ошибиться в этих действиях, можно получить неверное уравнение ещё до начала решения. Навык составлять уравнение по условию задачи помогает описывать неизвестную величину и находить её по известным данным. Позже такие преобразования пригодятся при решении систем уравнений, где нужно работать сразу с несколькими равенствами.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение переменной, при котором равенство становится верным. Чтобы проверить число, подставь его вместо переменной и вычисли обе части.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия, при котором к обеим частям прибавляют противоположное слагаемое. Например, чтобы убрать −5 слева, прибавляют 5 к обеим частям, поэтому справа появляется +5.
Когда два уравнения называют равносильными?
Уравнения равносильны, если у них одно и то же множество корней. Значит, каждое значение, подходящее одному уравнению, подходит и другому, и наоборот.
Можно ли делить обе части уравнения на переменную?
Обычно нельзя: переменная может оказаться равной нулю, а делить на ноль невозможно. Сначала нужно отдельно проверить случай, когда делитель равен нулю, или преобразовать уравнение без такого деления.
Что делать, если после упрощения получилось 0x = 0 или 0x = 5?
Равенство 0x = 0 верно при любом значении x, поэтому корнем является любое число. Равенство 0x = 5 невозможно, поскольку ноль не равен пяти, значит, корней нет.
§ 4. Линейное уравнение с одной переменной
