"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Координатная прямая помогает связывать точки с числами и числа с точками. Чтобы её построить, выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Началу отсчёта соответствует 0, а положение остальных точек задаётся их координатами: в положительном направлении координаты положительные, в противоположном — отрицательные. Это представление удобно для сравнения чисел, а позднее — для изучения координатной плоскости и графиков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Благодаря этим выборам точкам прямой можно сопоставлять числа, а числам — точки. Без них нельзя однозначно определить, откуда считать и в какую сторону двигаться.
Начало отсчёта — точка, которой приписывают координату 0; её обозначают буквой O. От этой точки отсчитывают расстояния до всех остальных точек. Поэтому она служит общей отправной точкой, а не просто произвольной отметкой на прямой.
Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения при откладывании координат. Его длина задаёт масштаб: например, при единичном отрезке 1 см координата 4 означает четыре таких отрезка от O. Выбранная единица помогает одинаково измерять расстояния на всей прямой.
Координата точки — число, показывающее положение точки на координатной прямой относительно начала отсчёта и выбранного направления. Например, запись A(3) означает, что точка A расположена на три единичных отрезка в положительном направлении от O. Координата нужна, чтобы кратко задавать положение точки и сравнивать его с положением других точек.
Обычная прямая сама по себе не сообщает, где считать расстояние и что считать движением вперёд. Поэтому сначала отмечают на ней точку O, задают положительное направление стрелкой и выбирают единичный отрезок. После этого любой шаг от O можно измерять в единицах, а направление шага — выражать знаком числа. Если изменить один из этих выборов, расположение чисел относительно точек может измениться.
Координату считают от начала отсчёта, потому что именно ему присвоено число 0 и относительно него определено положение всех остальных точек. Если начать отсчёт от произвольной точки, числа уже не будут показывать положение в выбранной системе: одна и та же точка могла бы получить разные значения в зависимости от того, откуда начали считать. Поэтому при поиске координаты сначала находят O, а затем отсчитывают единичные отрезки до нужной точки.
Знак координаты показывает, в какую сторону от начала отсчёта расположена точка. Если двигаться от O по стрелке положительного направления, получают положительные координаты; движение против стрелки даёт отрицательные. Само направление не обязательно совпадает с движением вправо: его выбирают при построении прямой. Поэтому ориентироваться нужно на стрелку, а не только на привычное положение на листе.
Чтобы отметить заданную координату, сначала определяют её знак, а затем число единичных отрезков. Для числа 4 откладывают четыре отрезка от O по положительному направлению, а для −4 — четыре отрезка против него. Важно не менять длину единичного отрезка по ходу построения: каждый шаг должен быть одинаковым. Так отметка будет соответствовать и числу, и выбранному масштабу.
Каждой точке соответствует ровно одно число, потому что от O до неё можно пройти единственным расстоянием в единичных отрезках и в одном из двух направлений. И каждому числу соответствует ровно одна точка: знак выбирает направление, а величина числа — расстояние. Например, числа 3 и −3 дают точки на одинаковом расстоянии от O, но по разные стороны. При фиксированных начале отсчёта, направлении и масштабе неоднозначности нет.
Сначала определите, где расположена точка относительно начала отсчёта, затем найдите её координату по направлению и расстоянию. В таблице положительное направление для примеров условно выбрано вправо. Если стрелка направлена иначе, знак определяют относительно неё, а не относительно края страницы.
| Положение точки | Знак координаты | Пример координаты |
|---|---|---|
| Начало отсчёта | Нулевой | 0 |
| Справа от начала отсчёта | Положительный | 3 |
| Слева от начала отсчёта | Отрицательный | −4 |
Примеры в последнем столбце показывают знак, а не единственное возможное расстояние: справа могут находиться точки с координатами 1, 2, 3 и так далее. Для проверки найдите сначала стрелку положительного направления, а затем посчитайте отрезки от O.
Задача 1. На координатной прямой отметьте точку A(3). Здесь число положительное, значит, точка расположена по положительному направлению от начала отсчёта. Число 3 задаёт расстояние в три единичных отрезка, а не три сантиметра, если длина единицы отдельно не указана.
Ответ: точка A находится на три единичных отрезка от O в положительном направлении. Если стрелка направлена вправо, A будет справа от начала отсчёта. Проверьте, что отрезков ровно три, а не три отметки вместе с O.
Задача 2. Отметьте точки B(−4) и C(2), если единичный отрезок равен 1 см. Здесь нужно учесть и знак, и величину каждой координаты: минус у B указывает сторону, а числа 4 и 2 — количество сантиметров. Обе точки отсчитываются от одного начала O, а не друг от друга.
Ответ: B расположена в четырёх сантиметрах от O против положительного направления, C — в двух сантиметрах по нему. Если положительное направление направлено вправо, B будет слева, а C справа. Указание единичного отрезка здесь важно: именно оно позволяет перевести координаты в сантиметры.
Задача 3. Точка M находится на 5 единичных отрезков левее начала отсчёта, а N — на 3 единичных отрезка правее. Нужно записать координаты и определить, какая точка расположена правее. Сначала каждой точке присваиваем знак по стороне от O, затем сравниваем полученные числа.
Ответ: M(−5), N(3); правее расположена точка N. Такое сравнение согласуется с расположением: на координатной прямой числа увеличиваются по положительному направлению. Сначала здесь важно было правильно определить знаки, и только затем сравнивать координаты.
Считать, что положительное направление всегда направлено вправо, — ошибка. Так думают, потому что обычно прямую изображают именно так, но направление задаётся выбранной стрелкой и может быть другим. Проверьте себя: найдите стрелку и определяйте знаки относительно неё, а не по краям листа.
Отмечать отрицательную координату справа от O, не сверяясь с направлением, — значит перепутать знак и сторону движения. Минус означает движение против положительного направления, даже если оно на рисунке направлено вправо. Перед построением посмотрите на стрелку и только после этого выбирайте сторону.
Отсчитывать координату от точки, отличной от начала отсчёта, нельзя: в таком случае получится расстояние между точками, а не координата. Эту ошибку допускают, когда начинают считать от ближайшей отметки или от соседней точки. Проверьте построение: первый отрезок должен начинаться у O, обозначенного начала отсчёта.
Откладывать число шагов, не учитывая длину единичного отрезка, тоже неверно. Можно правильно посчитать отрезки, но получить не то расстояние, если сделать их разной длины или принять сантиметр за единицу без основания. Сверьте соседние отметки с выбранным единичным отрезком и используйте одинаковую длину каждого шага.
Для работы с координатной прямой понадобятся знания о числовом луче, положительных и отрицательных числах, а также о расположении чисел на числовой оси. Координаты помогают сравнивать числа: точка, расположенная дальше по положительному направлению, соответствует большему числу. Этот способ представления пригодится при решении уравнений и неравенств. Позже идея чисел-точек расширится до координатной плоскости, на которой строят графики.
Что нужно выбрать, чтобы получить координатную прямую?
На обычной прямой нужно выбрать точку начала отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. Эти три выбора задают, как именно точкам будут соответствовать числа.
Почему начало отсчёта имеет координату 0?
Начало отсчёта служит точкой, относительно которой определяют положение остальных точек. От неё до самой себя нет ни одного единичного отрезка, поэтому ей приписывают число 0.
Как понять, где на прямой отметить точку с отрицательной координатой?
От начала отсчёта нужно двигаться против положительного направления. Например, точка с координатой −3 находится на три единичных отрезка в эту сторону.
Что показывает единичный отрезок?
Он задаёт длину, которую принимают за одну единицу измерения на прямой. По нему считают, на сколько единиц точка удалена от начала отсчёта.
Может ли одной точке соответствовать несколько координат?
Нет, если начало отсчёта, направление и единичный отрезок уже выбраны, каждой точке соответствует ровно одно число. И наоборот, каждое число определяет ровно одну точку.
§ 6. Координатная прямая
