§ 7. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость, на которой задана система координат, позволяющая определять положение точек. Она нужна, чтобы описывать расположение точки двумя числами, а не только словами вроде «правее» или «выше». Такая запись помогает точно строить точки и сравнивать их положение.

Координатные оси — две взаимно перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось x и вертикальная ось y. Каждая ось имеет деления и направления, поэтому на ней можно откладывать положительные и отрицательные числа. Вместе оси задают направления отсчёта на плоскости.

Начало координат — точка пересечения осей, которой соответствуют нулевые координаты. Её обозначают как (0; 0), и от неё начинают отсчёт при построении любой точки. Благодаря общей начальной точке положение можно задавать согласованно по обеим осям.

Координаты точки — пара чисел (x; y), где первое число задаёт положение по горизонтали, а второе — по вертикали. Знак числа показывает направление от начала координат, а его величина — расстояние в единичных отрезках. Эта запись нужна, чтобы однозначно указать точку на плоскости.

Как это устроено

Представьте две числовые прямые, пересекающиеся под прямым углом. Горизонтальную располагают как ось x, вертикальную — как ось y, а их пересечение становится общим нулём. Прямой угол важен потому, что направления по горизонтали и вертикали не смешиваются: можно отдельно определить смещение точки по каждой оси. На каждой прямой положительные числа идут от нуля в одну сторону, отрицательные — в противоположную.

Координаты записывают именно в порядке (x; y), потому что каждой оси соответствует своё место в паре. Сначала читают первое число и определяют смещение вдоль горизонтальной оси, затем второе — вдоль вертикальной. Если переставить числа, поменяются направления и расстояния: точка, например, (3; 2) не совпадает с точкой (2; 3). Поэтому порядок записи помогает не перепутать, какое число к какой оси относится.

Чтобы найти точку по координатам, сначала от начала координат перемещаются по горизонтали на величину x. Затем из полученного места идут вверх или вниз параллельно оси y на величину второй координаты. Такой путь удобен, потому что координаты задают независимые смещения по двум направлениям. Например, для (3; 2) нужно пройти вправо на три единицы, а потом вверх на две.

Если точка уже отмечена, через неё мысленно проводят прямые, параллельные осям. Вертикальная линия показывает, над каким числом оси x находится точка, а горизонтальная — на уровне какого числа оси y. Так получают сначала x, затем y, сохраняя установленный порядок. Прямые-помощники перпендикулярны соответствующим осям, поэтому позволяют перенести положение точки на числовые шкалы и точно считать координаты.

Оси делят плоскость на четыре области, которые называют координатными четвертями. В каждой области сочетание знаков одинаково: справа от оси y значения x положительны, слева — отрицательны; выше оси x значения y положительны, ниже — отрицательны. Поэтому по знакам координат можно определить четверть, даже не зная точных расстояний. Если точка лежит прямо на оси, одна координата равна нулю, и точка не попадает ни в одну четверть.

Знаки координат в координатных четвертях

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала посмотрите на знаки обеих координат, а затем найдите подходящую строку. Например, сочетание «минус, плюс» указывает на II четверть. Если одна координата равна нулю, таблица не подходит: точка лежит на оси.

Разбор задач

Задача: отметить на координатной плоскости точку A(3; 2). В записи первое число относится к оси x, второе — к оси y. Поэтому сначала определяем горизонтальное, а затем вертикальное смещение от начала координат.

1. Найдём начало координат — точку пересечения осей, соответствующую (0; 0).
2. Первое число равно 3 и положительно, поэтому от нуля по оси x отсчитываем три единицы вправо.
3. Из полученного места поднимаемся параллельно оси y на две единицы, так как второе число положительное.

Ответ: точка A находится на три единицы правее и на две единицы выше начала координат, в I четверти. Проверка по четвертям подтверждает построение: оба числа положительны.

Задача: определить координаты точки B, расположенной на 4 единицы левее начала координат и на 1 единицу выше него. Слова «левее» и «выше» задают направления, а расстояния дают значения координат. Переведём эти сведения в запись пары (x; y).

1. Движение влево по оси x означает отрицательное значение; расстояние равно четырём единицам, значит x = −4.
2. Движение вверх по оси y означает положительное значение; расстояние равно одной единице, значит y = 1.
3. Запишем координаты в установленном порядке: сначала x, затем y.

Ответ: B(−4; 1). По знакам видно, что точка находится во II четверти.

Задача: отметить C(−2; 5), D(3; −1) и E(0; −4), а затем указать положение каждой точки. Здесь нужно следить не только за знаками, но и за нулевой координатой: ноль означает, что точка не смещена от начала координат по соответствующей оси.

1. Для C(−2; 5) пройдём две единицы влево и пять вверх. Координаты имеют знаки (−; +), значит, C лежит во II четверти.
2. Для D(3; −1) пройдём три единицы вправо и одну вниз. Знаки (+; −) указывают на IV четверть.
3. Для E(0; −4) по горизонтали смещения нет, а по вертикали нужно пройти четыре единицы вниз. Значит, E лежит на оси y, ниже начала координат.

Ответ: C — во II четверти, D — в IV четверти, E — на отрицательной части оси y. Точка E не принадлежит ни одной четверти, потому что одна её координата равна нулю.

Типичные ошибки

Ошибка — менять координаты местами и читать запись как (y; x). Это случается, если ученик забывает, что числа всегда соотносятся с осями в одном порядке. Проверьте себя: первое число должно описывать движение по горизонтали, а второе — по вертикали. Для контроля можно отдельно назвать, сколько нужно пройти вправо или влево, а затем вверх или вниз.

Ошибка — откладывать отрицательное значение вверх или вправо. Обычно путают знак числа и величину расстояния, хотя знак задаёт направление. Проверьте направление по оси: для x минус ведёт влево, для y минус — вниз. Само расстояние при этом откладывают от нуля на указанное число единиц.

Ошибка — начинать отсчёт не от начала координат, а от соседней отметки или другой точки. Так положение смещается на лишнее расстояние, даже если направления выбраны верно. Перед построением найдите пересечение осей и отметьте его как (0; 0). Затем считайте нужное число делений именно от этой точки.

Ошибка — относить точку на оси к одной из координатных четвертей. Её могут так классифицировать, ориентируясь только на то, выше или правее она находится. Проверьте обе координаты: если хотя бы одна равна нулю, точка лежит на оси, а не внутри четверти. Четверти занимают только области между осями.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужно уметь пользоваться числовой прямой: отмечать положительные и отрицательные числа и находить расстояние от нуля. Эти навыки помогают правильно выбирать направление и число единичных отрезков при построении точки. Позже координатная плоскость понадобится для построения графиков функций: график показывает точки, координаты которых связаны определённым правилом. Она также используется в задачах, где нужно находить положение точек и сравнивать их координаты.

Что запомнить

• Координатная плоскость задаётся двумя перпендикулярными числовыми осями.
• Горизонтальная ось обозначается x, вертикальная — y.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• В записи (x; y) сначала указывают координату по оси x, затем — по оси y.
• Положительные значения x откладывают вправо, отрицательные — влево.
• Положительные значения y откладывают вверх, отрицательные — вниз.
• Точки на осях не принадлежат координатным четвертям.