§ 7. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, общим началом и выбранным масштабом. Масштаб показывает, какое расстояние или сколько делений соответствует одной единице. Благодаря этому можно точно отмечать положение точек и сравнивать его с положением других точек.

Координатные оси — две перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат. Горизонтальную обычно обозначают буквой x, а вертикальную — буквой y. Оси помогают описывать положение точки отдельно по двум направлениям.

Начало координат — точка пересечения осей; её координаты равны (0; 0). Это общая точка отсчёта для обеих числовых прямых. От неё считают, насколько далеко и в какую сторону расположена нужная точка.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), указывающая положение точки на плоскости. Первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Такой порядок нужен, чтобы однозначно определить точку: сначала по горизонтали, потом по вертикали.

Как это устроено

Чтобы получить координатную плоскость, расположи две числовые прямые так, чтобы они пересекались под прямым углом и имели общее начало. На каждой выбери единичный отрезок — расстояние, которому соответствует одна единица. Одинаковый масштаб делает отсчёт понятным и позволяет сравнивать расстояния на плоскости с числами. Масштаб на осях может различаться, поэтому его нужно проверять отдельно для каждой оси.

На числовой прямой положительное направление принято выбирать вправо. Поэтому на горизонтальной оси положительные значения находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Для вертикальной оси положительное направление выбирают вверх, а отрицательное — вниз. Это соглашение помогает одинаково читать координаты и строить точки, даже если их координаты меньше нуля.

Чтобы построить точку с координатами (x; y), сначала найди на горизонтальной оси значение x. От этой отметки мысленно проведи линию, параллельную вертикальной оси, а затем отложи по ней значение y — вверх или вниз от оси абсцисс. Полученная точка имеет нужное положение сразу по обоим направлениям. Именно поэтому нельзя начинать с y: числа в паре записаны в определённом порядке.

Координаты уже изображённой точки можно найти обратным способом. Через точку проведи перпендикуляр к горизонтальной оси и считай, где он пересекает ось: это абсцисса x. Затем определи, на каком уровне точка находится относительно горизонтальной оси: значение по вертикали — её ордината y. Считывая числа, учитывай расстояние между делениями и направление от нуля.

Оси делят плоскость на четыре части, которые называют четвертями; их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой. Знаки координат показывают, в какой части находится точка: например, положительная абсцисса и отрицательная ордината дают нижнюю правую четверть. Точка на оси не принадлежит ни одной четверти, потому что одна её координата равна нулю. В начале координат нулю равны обе координаты.

Знаки координат и положение точки

Чтобы определить четверть, сначала проверь знаки x и y, а затем найди в таблице подходящую строку. Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не в четверти. Для начала координат обе координаты равны нулю.

Разбор задач

Постройте точку A(3; 2) на координатной плоскости. Сначала нужно учесть порядок чисел: 3 — абсцисса, а 2 — ордината. Обе координаты положительные, поэтому точка окажется справа и выше начала координат.

1. Найди начало координат и отложи по оси x три единицы вправо.
2. Из полученной отметки двигайся параллельно оси y на две единицы вверх.
3. Поставь точку в конечном месте и обозначь её буквой A.

Ответ: точка A имеет координаты (3; 2) и лежит в I четверти. Проверка по таблице знаков подтверждает, что обе координаты положительные. Если масштаб не равен одной единице на деление, расстояние нужно отсчитывать по его значениям.

Определите координаты точки B, если от начала координат нужно пройти 4 единицы влево и 3 единицы вниз. Направление влево относится к оси x, а направление вниз — к оси y. Оба перемещения идут против выбранного положительного направления.

1. За движение влево запиши абсциссу −4.
2. За движение вниз запиши ординату −3.
3. Запиши координаты в установленном порядке: сначала x, затем y.

Ответ: B(−4; −3). Оба числа отрицательные, значит точка лежит в III четверти. При проверке проследи, чтобы первое число отвечало за горизонтальный шаг, а второе — за вертикальный.

Укажите четверть, в которой лежит точка C(−2; 5), и постройте точку D, симметричную C относительно оси ординат. Симметричные точки находятся по разные стороны от оси на одинаковом расстоянии. Поэтому при таком отражении меняется горизонтальное положение, но высота точки остаётся прежней.

1. У точки C абсцисса отрицательная, а ордината положительная; по таблице это II четверть.
2. Для отражения относительно оси y измени знак абсциссы −2 на противоположный, сохранив ординату 5.
3. Отметь точку с координатами (2; 5): она находится справа от оси y на том же расстоянии и на той же высоте, что C.

Ответ: C лежит во II четверти, D(2; 5). Обе точки имеют одинаковую ординату, а их абсциссы противоположны. Это подтверждает, что они симметричны относительно вертикальной оси.

Типичные ошибки

Иногда координаты меняют местами и записывают (y; x). Так происходит, если забыть, что пара упорядоченная, или сначала посмотреть на вертикальное положение точки. Проверяй себя: первый шаг всегда соответствует горизонтальной оси x, а второй — вертикальной оси y.

Другая ошибка — считать, что от начала координат в обе стороны числа положительные. Направления выбраны не произвольно: влево и вниз соответствуют отрицательным значениям. Чтобы проверить знак, сравни направление движения с выбранным положительным направлением оси.

Можно неверно считать координату по другой оси: например, взять абсциссу по вертикали. Это случается, когда точку рассматривают целиком, не разделяя её положение на горизонтальное и вертикальное. Проведи от точки перпендикуляры к осям и считывай x по горизонтальной, а y по вертикальной.

Наконец, не следует считать, что одна клетка всегда равна одной единице. Масштаб может быть другим, и тогда простое число клеток не совпадает со значением координаты. Проверь подписи и деления на осях, а затем пересчитай расстояние в единицах выбранного масштаба.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужны знания о числовой прямой, координате числа, положительных и отрицательных числах. Правила направлений на плоскости опираются на те же правила, что и расположение чисел на прямой. Позже координаты помогут строить графики зависимостей и функций: график показывает, как связаны значения двух величин. На плоскости также изображают геометрические фигуры и решают задачи на координаты и симметрию.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Ось x горизонтальная, ось y вертикальная.
• Оси пересекаются в начале координат (0; 0).
• Вправо и вверх откладывают положительные числа, влево и вниз — отрицательные.
• На оси абсцисс ордината равна нулю.
• На оси ординат абсцисса равна нулю.
• Знаки координат определяют четверть, в которой находится точка.