"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Линейное уравнение с двумя переменными связывает значения x и y, а его решениями служат пары чисел. Все такие пары можно изобразить точками на координатной плоскости: они образуют график уравнения. Для линейного уравнения график — прямая, поэтому, чтобы построить его, достаточно найти две разные точки-решения. Этот способ помогает увидеть все решения сразу и пригодится при изучении функций и систем уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Например, 3x + 2y = 8 — такое уравнение. Оно задаёт связь между двумя числами и позволяет выяснить, какие значения переменных подходят друг к другу.
Решение линейного уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой в уравнение получается верное равенство. Например, числа в паре могут подойти, а другие числа — нет, поэтому нужно проверять именно их совместно. Понятие решения помогает отличить подходящие значения переменных от неподходящих.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения уравнения. Точка (x; y) соответствует паре, где первое число является значением x, а второе — значением y. График нужен, чтобы увидеть все решения уравнения как геометрическую фигуру.
В уравнении с двумя переменными одного значения обычно недостаточно, чтобы определить оба неизвестных числа. Например, если известно только x, значение y ещё может быть разным, но равенство должно оставаться верным. Поэтому решение записывают парой (x; y) и проверяют подстановкой обеих координат на свои места.
Чтобы построить график, часто сначала выражают одну переменную через другую. Если в уравнении ax + by = c коэффициент b не равен нулю, перенесём ax и разделим обе части на b: получим y = −(a/b)x + c/b. Это вид y = kx + m, где k и m — числа; выбрав x, можно вычислить соответствующее y.
Каждому решению (x; y) соответствует точка координатной плоскости с такими координатами. И наоборот: если взять точку на графике уравнения, её координаты при подстановке дадут верное равенство. Поэтому график не просто помогает представить решения — он и состоит из точек, соответствующих всем решениям.
Почему получается именно прямая? После преобразования уравнения к виду y = kx + m переменная y изменяется линейно вместе с x, а такие пары координат располагаются на одной прямой. Две различные точки уже однозначно задают прямую, поэтому достаточно найти две пары-решения. Остальные решения тоже лежат на этой же прямой.
Для построения выбери несколько удобных значений одной переменной — например, ноль или такие числа, при которых вычисления просты. Подставь их в уравнение и найди соответствующие значения второй переменной. Отметь полученные пары как точки на координатной плоскости, а затем проведи через две разные точки прямую в обе стороны; дополнительные точки помогут проверить построение.
| Вид уравнения | Что удобно найти | Как выглядит график |
|---|---|---|
| y = kx + m | Две пары, выбирая значения x | Прямая |
| ax + by = c, где a и b не равны нулю | Две пары подстановкой удобных значений x или y | Прямая |
| x = a | Несколько значений y при одном x = a | Вертикальная прямая |
| y = b | Несколько значений x при одном y = b | Горизонтальная прямая |
Сначала определи, к какому виду относится уравнение, и выбери удобные координаты для точек. В форме y = kx + m проще задавать x, а для x = a и y = b сразу видно, какая координата у всех точек постоянна. Если уравнение записано в общем виде, его можно преобразовать или подобрать пары подстановкой.
Условие. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + 2y = 8. Здесь важно не выбирать числа по отдельности: пара задаёт x = 2 и y = 1 одновременно. Подстановка покажет, выполняется ли равенство.
Записываем значения переменных по порядку: x = 2, y = 1. Первое число пары ставим вместо x, второе — вместо y. Такой порядок сохраняет смысл координат.
Подставляем числа: 3 · 2 + 2 · 1 = 6 + 2 = 8. Левая часть равна правой части уравнения. Значит, получено верное равенство.
Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.
Условие. Построить график уравнения 2x + y = 4. Чтобы получить координаты точек, выразим y через x, а затем выберем такие значения x, с которыми легко считать. Для прямой нужны две разные точки-решения.
Переносим 2x в правую часть: y = 4 − 2x. Теперь при каждом выбранном x можно найти соответствующее значение y. Это преобразование сохраняет все решения исходного уравнения.
Берём x = 0: тогда y = 4, получаем точку (0; 4). Берём x = 2: тогда y = 0, получаем точку (2; 0). Обе пары подходят, поскольку получены из равносильной записи уравнения.
Отмечаем точки (0; 4) и (2; 0) на координатной плоскости и проводим через них прямую. Продолжаем её в обе стороны, потому что график не ограничивается отрезком между точками. Каждая точка этой прямой соответствует решению.
Ответ: график — прямая y = 4 − 2x, проходящая через точки (0; 4) и (2; 0).
Условие. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (0; 3) и (2; 7), и проверить, лежит ли на ней точка (1; 5). Запишем уравнение в виде y = kx + m. Коэффициенты должны сделать координаты обеих заданных точек верными решениями.
Подставим координаты (0; 3): 3 = k · 0 + m, значит, m = 3. Подставим координаты (2; 7): 7 = 2k + 3, откуда 2k = 4 и k = 2. Так мы нашли оба числа в формуле прямой.
Получаем уравнение y = 2x + 3. Проверим точку (1; 5): при x = 1 правая часть равна 2 · 1 + 3 = 5. Полученное значение совпадает с координатой y этой точки.
Ответ: уравнение прямой — y = 2x + 3; точка (1; 5) лежит на её графике.
Первая ошибка — проверить только одну координату пары или подставить только часть выражения. Так делают, когда забывают, что равенство связывает x и y вместе, но одного совпадения недостаточно. Подставь оба числа и вычисли левую часть целиком: решение найдено только тогда, когда она равна правой.
Вторая ошибка — перепутать порядок координат и поставить первое число вместо y. В записи (x; y) порядок не случаен, а при вычислениях его легко не заметить. Перед подстановкой подпиши значения: первое — x, второе — y; после этого проверь равенство.
Третья ошибка — считать графиком только две найденные точки. Они нужны, чтобы провести прямую, но между ними и за их пределами есть другие точки, соответствующие решениям. Проверь себя вопросом: изображена вся прямая или только отмечены координаты для построения?
Четвёртая ошибка — соединить точки кривой или ограничить график отрезком. Это может случиться, если провести линию на глаз и не вспомнить, что все решения линейного уравнения лежат на прямой. Используй линейку и продолжи прямую в обе стороны за выбранные точки.
Чтобы работать с уравнением, нужно уметь подставлять числа в выражения и преобразовывать линейные уравнения. Эти действия помогают проверить пару и выразить одну переменную через другую. Повторить их полезно до построения графика.
Для изображения решений понадобятся координатная плоскость, построение точек по координатам и умение читать графики. Каждая пара чисел превращается в точку, поэтому важно не перепутать оси и порядок координат. По расположению точек можно понять, каким решениям соответствует график.
Дальше эта тема пригодится при изучении линейной функции и систем линейных уравнений. Графики помогут сравнивать зависимости, а точка пересечения двух прямых будет общей точкой их графиков. Её координаты могут быть решением обоих уравнений системы.
Почему решение записывают парой чисел?
В уравнении участвуют две переменные, поэтому нужно указать значение каждой из них. Пара (x; y) задаёт оба значения в правильном порядке.
Как проверить, является ли заданная пара решением уравнения?
Подставь первое число вместо x, а второе — вместо y. Если после вычислений получается верное равенство, пара является решением.
Почему график линейного уравнения — прямая?
После выражения одной переменной через другую уравнение принимает вид y = kx + m, и значения x и y связаны линейно. Все соответствующие точки лежат на одной прямой.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух различных точек-решений: через них можно провести единственную прямую. На практике полезно найти третью точку для проверки вычислений.
Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь больше одного решения?
Да, обычно оно имеет бесконечно много решений. Каждой точке на его прямой соответствует своя пара чисел.
§ 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
