"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c, а его решение — пара чисел, превращающая равенство в верное. Все такие пары можно отметить точками на координатной плоскости. Обычно они образуют прямую: по ней удобно находить решения, проверять точки и решать системы уравнений графически. Главное — научиться выражать одну переменную через другую и выбирать две точки для построения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двухпеременное линейное уравнение — это уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; a и b не равны нулю одновременно. Слово «линейное» означает, что переменные стоят только в первой степени и не перемножаются друг с другом. Такая запись позволяет исследовать сразу все пары чисел, подходящие уравнению.
Решение уравнения — пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Например, если после подстановки слева и справа выходит одно и то же число, пара подходит. Это нужно, чтобы отличать отдельные значения переменных от полной пары координат.
График уравнения — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями. Каждая подходящая пара (x; y) соответствует точке с координатами x и y. Поэтому график помогает увидеть сразу бесконечно много решений.
Коэффициенты уравнения — числа a и b, стоящие при переменных x и y. Они влияют на наклон и положение получающейся прямой. Свободное число c тоже определяет положение графика, но коэффициентом при переменной не является.
Пара чисел (x; y) изображается одной точкой, потому что первая координата задаёт положение по горизонтали, а вторая — по вертикали. На координатной плоскости каждой упорядоченной паре соответствует ровно одна точка. И наоборот, у каждой точки есть единственная пара координат, поэтому решения и точки графика можно сопоставлять друг другу.
Если b ≠ 0, из ax + by = c можно выразить y: by = c − ax, затем y = −a/b · x + c/b. Это форма y = kx + m, где k = −a/b, а m = c/b. Графиком такой зависимости является прямая: коэффициент k задаёт её наклон, а m показывает, где она пересекает ось y.
Для построения прямой нужны две различные точки, потому что через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Два разных решения уже задают единственное направление и положение линии. Все остальные решения уравнения окажутся на той же прямой, так как удовлетворяют той же зависимости между x и y.
Решения удобно находить так: выбрать значение одной переменной, подставить его в уравнение и вычислить другую. Можно также найти пересечения с осями: для точки на оси x положить y = 0, а для точки на оси y — x = 0. Если вычисления дают простые числа, построение становится точнее и быстрее.
При b = 0 слагаемое by исчезает, и остаётся ax = c. Так как a ≠ 0, получаем x = c/a, а y может быть любым числом. Все точки с одной и той же координатой x образуют вертикальную прямую, которую нельзя записать как график функции y от x: одному x соответствуют многие значения y.
| Характеристика | Линейное уравнение ax + by = c | Его график |
|---|---|---|
| Условие на коэффициенты | a и b не равны нулю одновременно | Определённая прямая |
| Что является решением | Пара (x; y), превращающая равенство в верное | Точка с координатами (x; y) |
| Преобразование при b ≠ 0 | y = −a/b · x + c/b | График функции y = kx + m |
| Вид графика | Зависит от коэффициентов и свободного члена | Наклонная или горизонтальная прямая; при b = 0 — вертикальная |
| Способ построения | Найти два решения | Отметить две точки и провести через них прямую |
| Проверка принадлежности точки | Подставить обе координаты в уравнение | Точка лежит на прямой, если равенство верно |
Сначала по таблице определите, какие числа считаются решениями, а затем выберите способ построения. Если коэффициент при y не равен нулю, удобно перейти к виду функции. В любом случае результат можно проверить подстановкой координат выбранных точек.
Проверим пару (2; 1) для уравнения 3x + 2y = 8 и найдём y при x = 4. Важно сначала проверить обе координаты, а не только одно число.
Ответ: (2; 1) — решение; при x = 4 значение y равно −2.
Построим график уравнения 2x + y = 4. Нужно получить зависимость y от x и найти две удобные точки.
Ответ: график — прямая y = 4 − 2x, проходящая через точки (0; 4) и (2; 0).
Найдём уравнение прямой через A(1; 3) и B(3; 7), а затем проверим C(5; 11). Запишем зависимость в виде y = kx + m.
Ответ: y = 2x + 1; точка C(5; 11) принадлежит этой прямой.
Отдельное число вместо пары. Иногда решением называют только x или только y, хотя в уравнении две переменные. Так происходит, если забывают, что точка имеет две координаты. Проверьте запись: решение должно выглядеть как (x; y).
Ошибка при преобразовании. При переносе слагаемого меняют знак, а при делении теряют минус или делят не всё выражение. Часто это случается из-за спешки. После преобразования подставьте полученную формулу обратно в исходное уравнение.
Построение по одной точке. Одна точка не определяет прямую, поскольку через неё можно провести много линий. Ошибку допускают, когда считают, что найденного решения достаточно. Найдите два различных решения и убедитесь, что точки не совпадают.
Проверка одной координаты. Совпадение x или y ещё не доказывает принадлежность точки графику. Нужно подставить обе координаты в исходное уравнение и проверить равенство. Такой способ работает и для наклонных, и для вертикальных прямых.
До этой темы нужны координатная плоскость, координаты точки, линейная функция и построение графика по таблице значений. Эти знания объясняют, как превращать пару чисел в точку и проводить прямую.
Дальше графики линейных уравнений применяются при решении систем линейных уравнений графическим способом: решение системы связано с общей точкой двух прямых. Позже по графикам изучают линейные неравенства и взаимное расположение прямых.
Почему решением считается пара чисел, а не одно число?
В уравнении есть две переменные — x и y, поэтому нужно указать значение каждой из них. Решением является упорядоченная пара (x; y), которую подставляют вместо обеих переменных.
Почему график линейного уравнения всегда является прямой?
При b ≠ 0 уравнение преобразуется к виду y = kx + m. График любой линейной функции такого вида — прямая, потому что при одинаковом изменении x значение y изменяется равномерно.
Как выбрать удобные точки для построения графика?
Можно выбрать любое значение x и вычислить y, но удобнее брать числа, дающие целые координаты. Часто используют точки пересечения с осями: для одной из них полагают y = 0, а для другой — x = 0.
Можно ли построить график, если коэффициент при y равен нулю?
Да. При b = 0 уравнение имеет вид ax = c, поэтому x = c/a. Все решения лежат на вертикальной прямой, но представить её как график функции y от x нельзя.
Как проверить, принадлежит ли заданная точка графику?
Нужно подставить обе координаты точки в исходное уравнение. Если равенство окажется верным, точка принадлежит графику; если неверным — не принадлежит.
4.2 Линейное уравнение с двумя переменными и его график
