4.3 Уравнение прямой вида y = kx + l

Определения и обозначения

Уравнение прямой вида y = kx + l — это формула, которая при постоянных числах k и l задаёт значение y для каждого выбранного x. Его графиком является прямая линия. Такая запись помогает описывать и исследовать линейные зависимости.

Угловой коэффициент k показывает наклон прямой. Если увеличить x на 1, то y изменится на k: увеличится при положительном k или уменьшится при отрицательном. Поэтому по k можно определить направление прямой.

Свободный член l — число, которое остаётся в формуле независимо от x. При x = 0 получаем y = l, значит, график пересекает ось y в точке (0; l). Число l нужно, чтобы определить вертикальное положение прямой.

График уравнения y = kx + l — множество всех точек, координаты которых удовлетворяют этому равенству. Для каждой такой точки значение второй координаты вычисляется по формуле. Соединив найденные точки, получают одну прямую.

Как это устроено

Возьмём две точки графика с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂). Из формулы следует: y₂ − y₁ = kx₂ + l − (kx₁ + l) = k(x₂ − x₁), поэтому (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = k. Отношение приращения y к приращению x постоянно, а именно постоянное отношение и характеризует прямую.

Коэффициент k задаёт направление линии, потому что он показывает, как меняется y при движении вправо на единицу. При k > 0 значение y растёт, поэтому линия поднимается слева направо. При k < 0 значение y уменьшается, а при k = 0 y не меняется и получается горизонтальная прямая.

Число l определяет положение прямой по вертикали. У всех прямых с одним и тем же k одинаковый наклон, потому что одинаково меняется y при изменении x. Изменение l переносит такую прямую вверх или вниз, поскольку точка при x = 0 перемещается с (0; l) на новую высоту.

Чтобы построить график, выберите два удобных значения x и вычислите соответствующие значения y. Например, можно взять x = 0: тогда сразу получится точка (0; l), а вторым значением выбрать 1 или −1. Отметьте обе точки на координатной плоскости и проведите через них прямую.

Уравнение можно восстановить по графику или двум точкам. Сначала найдите l по координате пересечения с осью y, затем вычислите k как отношение изменения ординаты к изменению абсциссы: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). После этого подставьте найденные числа в y = kx + l и проверьте формулу по второй точке.

Как коэффициенты уравнения y = kx + l определяют прямую

Сначала найдите в таблице условие, которое относится к вашей формуле. Знак k подскажет направление прямой, а значение l — высоту точки пересечения с осью y. Условия k = 0 и l = 0 описывают особые случаи, которые удобно проверять отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график уравнения y = 2x + 1. Для построения достаточно двух точек, поэтому выберем такие значения x, с которыми вычисления будут простыми.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 + 1 = 1, значит, первая точка — (0; 1).
2. При x = 1 получаем y = 2 · 1 + 1 = 3, значит, вторая точка — (1; 3).
3. Отметьте точки (0; 1) и (1; 3) и проведите через них прямую. Ответ: график — прямая через эти точки, её угловой коэффициент равен 2, поэтому она возрастает.

Задача 2. Определите, какая из прямых y = 3x − 2 и y = −3x − 2 возрастает, а какая убывает; укажите их общую точку пересечения с осью y. Сравним коэффициенты при x и свободные члены в обеих формулах.

1. У первой прямой k = 3, а это положительное число, поэтому y = 3x − 2 возрастает.
2. У второй прямой k = −3, поэтому y = −3x − 2 убывает слева направо.
3. В обеих формулах l = −2. Ответ: обе прямые пересекают ось y в общей точке (0; −2).

Задача 3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 4) и B(3; 8). Искомая формула имеет вид y = kx + l, поэтому сначала найдём её наклон, а затем свободный член.

1. Изменение x равно 3 − 1 = 2, а изменение y равно 8 − 4 = 4. Поэтому k = 4 / 2 = 2.
2. Подставим координаты точки A в формулу: 4 = 2 · 1 + l, откуда l = 2.
3. Получаем y = 2x + 2. Проверка по точке B: 2 · 3 + 2 = 8, значит, ответ верен.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что k является ординатой пересечения с осью y. Так путают роли коэффициентов, потому что оба числа находятся в одной формуле. Проверьте себя: при x = 0 исчезает слагаемое kx, поэтому остаётся y = l.

Вторая ошибка — неверно связывать знак k с направлением прямой. Иногда запоминают только слово «коэффициент» и не учитывают, что отрицательное изменение ведёт вниз. Проведите мысленно движение вправо: при k > 0 линия поднимается, а при k < 0 опускается.

Третья ошибка — строить график по одной точке. Одна точка не задаёт единственную прямую, ведь через неё можно провести множество линий. Найдите минимум две различные точки и убедитесь, что они отмечены с правильными координатами.

Четвёртая ошибка — вычислять k как изменение x, делённое на изменение y. Это переворачивает нужное отношение и меняет наклон. Используйте формулу k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), а затем проверьте результат подстановкой в уравнение.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и читать их координаты. Без этого трудно построить график и определить его пересечения с осями.

Также понадобится навык подстановки значения переменной в выражение. Он нужен, чтобы находить координаты точек по формуле y = kx + l.

Знание уравнения прямой пригодится при изучении линейных функций, систем уравнений и графического решения задач. Две прямые можно сравнивать по наклону и точкам пересечения.

Что запомнить

• График уравнения y = kx + l — прямая.
• k — угловой коэффициент, l — свободный член.
• Прямая пересекает ось y в точке (0; l).
• При k > 0 прямая возрастает, при k < 0 убывает.
• Если k = 0, график — горизонтальная прямая y = l.
• Если l = 0, прямая проходит через начало координат.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.