"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Уравнение с двумя переменными содержит две неизвестные, например x + y = 3. Его решение — не одно число, а упорядоченная пара (x; y), при подстановке превращающая равенство в верное. Все такие пары образуют множество решений, а на координатной плоскости им соответствуют точки графика. Для линейного уравнения графиком служит прямая.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение с двумя переменными — равенство, в котором встречаются две переменные, например x + y = 3. Переменные обычно обозначают буквами x и y. Такое уравнение описывает связь между двумя числами, которые можно подобрать разными способами.
Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара значений переменных, превращающая уравнение в верное равенство. Запись (x; y) показывает порядок: первое число подставляют вместо x, второе — вместо y. Это позволяет точно проверить, подходит ли выбранная пара.
Множество решений — все упорядоченные пары, являющиеся решениями данного уравнения. Одно уравнение часто допускает не одну пару, а много разных пар. Множество решений помогает увидеть все возможные сочетания значений переменных.
График уравнения — множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения этого уравнения. Каждой подходящей паре соответствует точка с координатами (x; y). Поэтому график позволяет изображать решения наглядно.
Чтобы проверить пару чисел, первое значение подставляют вместо x, а второе — вместо y. Затем вычисляют левую и правую части уравнения и сравнивают их. Если части равны, исходное равенство истинно, значит, пара является решением; если не равны — не является.
Уравнение с двумя переменными обычно имеет несколько или бесконечно много решений, потому что одному значению одной переменной могут соответствовать разные значения другой. Например, в уравнении x + y = 3 при x = 0 получается y = 3, а при x = 1 — y = 2. Каждая новая допустимая пара даёт ещё один способ выполнить связь между переменными.
Решение (x; y) можно представить точкой на координатной плоскости с абсциссой x и ординатой y. Если пара подходит уравнению, точка попадает на его график. Обратное тоже верно: координаты любой точки графика при подстановке дают верное равенство, поэтому задают решение.
Чтобы построить график, находят несколько решений, отмечают соответствующие точки и проводят через них линию или другую кривую. Такой способ работает потому, что найденные точки уже принадлежат искомому множеству, а вид уравнения подсказывает, как продолжить график. Если уравнение удаётся преобразовать к виду y = f(x), его строят как график функции: выбирают x, вычисляют y и составляют таблицу.
Для линейного уравнения графиком является прямая, поэтому обычно достаточно двух различных точек. Например, x + y = 3 преобразуется в y = 3 − x, то есть задаёт линейную функцию. Для уравнений другого вида график может быть не прямой, поэтому двух точек иногда недостаточно и нужно учитывать особенности соответствующей кривой.
В таблице сначала определите, о каком объекте идёт речь, затем посмотрите, как его проверить или построить. Последний столбец показывает все этапы на одном уравнении x + y = 3. Такая схема связывает вычисления с точками на координатной плоскости.
| Объект | Что означает | Как проверить или построить | Пример для x + y = 3 |
|---|---|---|---|
| Уравнение с двумя переменными | Равенство с переменными x и y | Выразить одну переменную или выбрать её значение | x + y = 3 |
| Упорядоченная пара | Два значения в определённом порядке: (x; y) | Первое число отнести к x, второе — к y | (0; 3) |
| Решение уравнения | Пара, превращающая равенство в верное | Подставить координаты в уравнение | 0 + 3 = 3, значит (0; 3) — решение |
| Множество решений | Все подходящие упорядоченные пары | Получить пары при разных значениях x или y | (0; 3), (1; 2), (3; 0) и другие |
| График уравнения | Точки, координаты которых образуют решения | Отметить точки и провести соответствующую линию | Прямая y = 3 − x |
Условие: проверьте, являются ли пары (2; −1), (0; 5) и (3; 1) решениями уравнения 2x − y = 5. Нужно проверить каждую пару отдельно, потому что одинаковое уравнение может подходить одной паре и не подходить другой.
Ответ: пары (2; −1) и (3; 1) являются решениями, а (0; 5) не является решением.
Условие: постройте график уравнения x + y = 4. Удобно выразить y через x, потому что тогда для каждого выбранного x можно быстро вычислить вторую координату и получить таблицу точек.
Ответ: график уравнения x + y = 4 — прямая, проходящая через точки (0; 4) и (4; 0). Можно взять и другие решения, например (1; 3) или (−1; 5).
Условие: прямая является графиком уравнения 2x + y = 6. Определите координаты точек при x = −1 и y = 4, а затем проверьте ответы подстановкой. Для каждой заданной координаты нужно найти вторую, используя уравнение.
Ответ: при x = −1 получаем точку (−1; 8), а при y = 4 — точку (1; 4).
Некоторые считают решением два отдельных числа без указания порядка. Ошибка возникает из-за того, что пару воспринимают просто как набор чисел, хотя первое число связано с x, а второе — с y. Проверяйте себя записью (x; y) и подстановкой именно в таком порядке.
Иногда значение x подставляют вместо y или меняют координаты местами. Это особенно легко сделать, если пара содержит похожие или удобные числа. Перед вычислением подпишите: первое число — x, второе — y.
Нельзя отмечать точку на графике только потому, что её координаты выглядят подходящими. Такая ошибка появляется, когда построение выполняют без проверки уравнением. Подставьте координаты каждой важной точки и убедитесь, что равенство верно.
Проводить график по одной точке или соединять найденные точки произвольной линией тоже неправильно. Одна точка не определяет прямую, а форма графика зависит от вида уравнения. Для линейного уравнения найдите две точки, а для нелинейного учитывайте его формулу и свойства.
До изучения темы нужны навыки работы с координатной плоскостью, упорядоченными парами и преобразованиями равенств. Без них трудно правильно подставлять значения и отмечать точки.
Линейное уравнение связано с графиком функции y = kx + b. Его прямую можно строить по таблице значений или по двум точкам.
Графики особенно полезны при изучении систем уравнений. Координаты точки пересечения двух графиков являются общим решением системы, если такая точка существует.
Почему решение записывают именно как упорядоченную пару?
Потому что первое число относится к переменной x, а второе — к переменной y. Пары (2; 5) и (5; 2) задают разные значения переменных и потому могут по-разному проверяться в уравнении.
Как быстро проверить, является ли точка графика решением уравнения?
Возьмите координаты точки как значения x и y и подставьте их в исходное уравнение. Если получится верное равенство, точка является графиком этого уравнения.
Сколько решений может иметь уравнение с двумя переменными?
Обычно у него несколько или бесконечно много решений. Количество зависит от вида уравнения: например, линейное уравнение задаёт прямую, на которой бесконечно много точек.
Почему для построения прямой достаточно найти две точки?
Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Если обе точки удовлетворяют линейному уравнению, эта прямая и будет его графиком.
Всегда ли график уравнения с двумя переменными является прямой?
Нет. Прямой график получается у линейного уравнения, например 2x + y = 6. У других уравнений графиком могут быть кривая, окружность или несколько отдельных частей.
4.1 Уравнение с двумя переменными и его график
