"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно представить как произведение линейных множителей. Для этого находят его корни с помощью дискриминанта или подбирают числа, если старший коэффициент равен 1. Главное правило: при корнях x₁ и x₂ трёхчлен раскладывается так: a(x − x₁)(x − x₂). Разложение помогает решать уравнения и неравенства, сокращать дроби и исследовать знаки выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — выражение вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Буквы a, b и c обозначают числа, а x — переменную. Такое выражение называют трёхчленом, потому что оно состоит из трёх слагаемых.
Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения двух линейных множителей. Например, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Такая запись удобна, потому что произведение легче приравнять к нулю или исследовать его знак.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором трёхчлен равен нулю. Если f(x) = ax² + bx + c и f(x₀) = 0, то x₀ называют корнем. Корни помогают определить линейные множители разложения.
Теорема о разложении через корни: если квадратный трёхчлен имеет корни x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Коэффициент a обязательно сохраняется перед скобками. Теорема превращает найденные корни в готовое разложение.
Раскроем скобки в выражении a(x − x₁)(x − x₂). Сначала (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂, а после умножения на a получаем квадратный трёхчлен. Если подставить x = x₁ или x = x₂, одна из скобок станет нулём, поэтому оба числа действительно являются корнями.
Корни можно найти по дискриминанту D = b² − 4ac. При D > 0 вычисляют два корня x₁ = (−b + √D)/(2a) и x₂ = (−b − √D)/(2a), а затем подставляют их в a(x − x₁)(x − x₂). Такой способ подходит для любого квадратного трёхчлена, если корни действительные.
Когда a = 1, выражение имеет вид x² + px + q. Его можно представить как (x − x₁)(x − x₂), поэтому достаточно найти два числа, сумма которых равна −p, а произведение равно q. Иными словами, в скобках удобно подбирать числа, чья сумма даёт коэффициент при x, а произведение — свободный член.
Если старший коэффициент не равен единице, сначала стоит проверить, нет ли общего множителя у всех слагаемых. Например, общий множитель можно вынести за скобки, а оставшийся трёхчлен разложить подбором или группировкой. При отсутствии простого общего множителя используют корни и обязательно оставляют множитель a перед скобками.
При D = 0 оба корня совпадают: x₁ = x₂ = x₀, поэтому два одинаковых линейных множителя объединяются в квадрат, a(x − x₀)². При D < 0 действительных корней нет. Значит, представить трёхчлен в виде произведения действительных линейных множителей невозможно, поскольку у такого произведения был бы хотя бы один действительный корень.
| Ситуация | Что найти или использовать | Вид разложения | Что проверить |
|---|---|---|---|
| x² + px + q, корни найдены подбором | Два числа с суммой p и произведением q | (x − x₁)(x − x₂) | Раскрытие скобок возвращает исходный трёхчлен |
| ax² + bx + c, a ≠ 1 | Корни x₁ и x₂ по дискриминанту | a(x − x₁)(x − x₂) | Множитель a учтён |
| D = 0 | Единственный корень x₀ | a(x − x₀)² | Квадратный множитель раскрывается в исходный трёхчлен |
| D < 0 | Действительных корней нет | На действительные линейные множители не раскладывается | Ответ соответствует области рассматриваемых чисел |
Сначала определите, к какой строке относится ваш трёхчлен: это подскажет подходящий способ. После получения ответа раскройте скобки и сравните все коэффициенты с исходным выражением. Особенно внимательно проверяйте старший коэффициент и знак среднего члена.
Старший коэффициент равен 1, поэтому можно применить подбор. Нужно найти два числа, произведение которых равно 6, а сумма — −5. Подходят числа −2 и −3.
Ответ: (x − 2)(x − 3). Числа 2 и 3 в скобках имеют положительные знаки после записи вида x − x₀, потому что корни равны 2 и 3.
Здесь a = 2, поэтому подбор без учёта старшего коэффициента может привести к ошибке. Найдём корни через дискриминант, а затем используем теорему о разложении. Так мы сразу сохраним множитель 2.
Ответ: 2(x − 3)(x − ½). При раскрытии скобок множитель 2 компенсирует знаменатель и возвращает исходный коэффициент при x².
У этого трёхчлена нет удобного общего множителя, поэтому найдём корни. Дискриминант окажется квадратом, но сами корни будут дробными. После этого важно не забыть коэффициент 6.
Ответ: 6(x − ⅔)(x + ½). Знак во второй скобке положительный, потому что второй корень равен −½.
Теряют коэффициент a. Запись (x − x₁)(x − x₂) имеет старший коэффициент 1, поэтому она не подходит для трёхчлена с a ≠ 1. Проверьте разложение по коэффициенту при x².
Ошибаются в знаках корней. Множителю (x − x₀) соответствует корень x₀, а не −x₀. Для проверки подставьте найденное число в исходный трёхчлен и убедитесь, что получается ноль.
Путают сумму и произведение при подборе. В выражении x² + px + q сумма чисел в скобках равна p, а их произведение равно q. Раскройте скобки: средний коэффициент и свободный член сразу покажут ошибку.
Не проверяют результат. Ошибка часто появляется именно в среднем коэффициенте или знаке. Раскрытие скобок занимает несколько действий и надёжно подтверждает правильность ответа.
До изучения темы нужны формула дискриминанта, формула корней квадратного уравнения и навыки тождественных преобразований. Разложение превращает квадратное уравнение в произведение и помогает решать квадратные неравенства. Оно связано с теоремой Виета, сокращением алгебраических дробей и исследованием знака произведения.
Зачем находить корни, если требуется только разложить трёхчлен?
Корни показывают, при каких значениях x трёхчлен обращается в ноль. Поэтому каждый корень даёт линейный множитель: корню x₀ соответствует множитель (x − x₀).
Почему перед скобками иногда нужно оставлять коэффициент a?
Старший член произведения (x − x₁)(x − x₂) равен x², а у исходного трёхчлена он равен ax². Поэтому при a ≠ 1 необходимо записывать множитель a: a(x − x₁)(x − x₂).
Как подобрать числа для разложения трёхчлена с первым коэффициентом 1?
Для выражения x² + px + q нужно найти два числа, сумма которых равна p, а произведение равно q. Эти числа будут корнями со сменой знака в скобках: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂).
Что делать, если дискриминант равен нулю?
Трёхчлен имеет один действительный корень x₀. Разложение содержит два одинаковых множителя: a(x − x₀)².
Можно ли разложить на действительные множители трёхчлен с отрицательным дискриминантом?
Нет, на действительные линейные множители такой трёхчлен не раскладывается. У него нет действительных корней, а каждый действительный линейный множитель дал бы действительный корень.
3.7 Разложение квадратного трехчлена на множители
