"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения сумма корней равна коэффициенту при x со знаком минус, а произведение — свободному члену. Благодаря этому корни часто можно подобрать устно, не вычисляя дискриминант и не применяя формулу корней. Теорема также помогает проверить решение и составить уравнение по известным корням.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Виета — это связь суммы и произведения корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет находить или проверять корни без полного решения уравнения по формуле. Поэтому особенно удобна, когда корни являются небольшими целыми числами.
Приведённое квадратное уравнение имеет вид x² + px + q = 0, где коэффициент при x² равен 1. Буквы p и q обозначают коэффициенты уравнения. Именно для такой записи формулы Виета выглядят проще всего.
Корни квадратного уравнения — это такие значения переменной, при подстановке которых получается верное равенство. Обычно корни обозначают x₁ и x₂, хотя уравнение может иметь один корень или не иметь действительных корней. В теореме Виета рассматривают сумму x₁ + x₂ и произведение x₁x₂.
Обратная теорема Виета утверждает: если два числа имеют заданную сумму и заданное произведение, то они являются корнями подходящего приведённого квадратного уравнения. Это позволяет составить уравнение по корням или подобрать корни по известным условиям. Обратное утверждение полезно, когда решать уравнение напрямую неудобно.
Пусть корни квадратного уравнения — x₁ и x₂. Тогда квадратный трёхчлен можно разложить на множители: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Раскроем скобки: (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравнивая коэффициенты, получаем p = −(x₁ + x₂) и q = x₁x₂.
Отсюда для уравнения x² + px + q = 0 следуют формулы x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Знак минус появляется потому, что при раскрытии скобок коэффициент при x равен не сумме корней, а её противоположному числу. Свободный член получается умножением двух корней, поэтому он совпадает с их произведением.
Если уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, сначала можно разделить все его члены на a. Получится x² + (b/a)x + c/a = 0, и к нему применяются уже известные формулы. Поэтому сумма корней равна −b/a, а произведение корней — c/a.
Чтобы подобрать корни, сначала выписывают два условия по Виету. Например, если сумма должна быть 7, а произведение 12, проверяют пары делителей числа 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Только пара 3 и 4 одновременно даёт нужные сумму и произведение, значит, именно эти числа являются корнями.
Обратная теорема объясняет, почему такой подбор работает. Если числа r₁ и r₂ имеют сумму −p и произведение q, то x² + px + q можно представить как (x − r₁)(x − r₂). При x = r₁ или x = r₂ один из множителей обращается в ноль, поэтому оба числа действительно являются корнями уравнения.
| Вид уравнения | Сумма корней | Произведение корней | Условия применения |
|---|---|---|---|
| x² + px + q = 0 | −p | q | Уравнение приведено, a = 1 |
| ax² + bx + c = 0 | −b/a | c/a | a ≠ 0; учитывается коэффициент a |
| Уравнение с известными суммой и произведением корней | Заданные числа | Заданные числа | Можно применить обратную теорему Виета |
| Связь корней с коэффициентами | − коэффициент при x в приведённом уравнении | Свободный член приведённого уравнения | Сначала привести уравнение к нужному виду |
Сначала определите, является ли уравнение приведённым. Если коэффициент при x² не равен 1, используйте формулы с делением на a или разделите всё уравнение на a. Затем отдельно найдите сумму и произведение и только после этого подбирайте числа.
Таблица помогает быстро сопоставить каждый коэффициент с нужной характеристикой корней. При проверке решения достаточно сравнить найденную сумму с первой формулой, а произведение — со второй.
Найдём корни уравнения x² − 7x + 12 = 0 с помощью теоремы Виета. Здесь p = −7, а q = 12, поэтому сумма корней должна быть равна 7, а произведение — 12.
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 4.
Решим уравнение 2x² − 10x + 12 = 0. Оно неприведённое, поэтому нельзя сразу считать сумму корней равной 10 и произведение равным 12. Удобнее разделить все члены на 2.
Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3. Те же результаты дают формулы для неприведённого уравнения: −b/a = 10/2 = 5 и c/a = 12/2 = 6.
В уравнении x² − 7x + q = 0 корни отличаются на 3. Обозначим меньший корень через x₁, тогда больший равен x₁ + 3. По теореме Виета их сумма равна 7, а произведение равно q.
Ответ: q = 10, корни 2 и 5. Проверка показывает: 2 + 5 = 7, 5 − 2 = 3, а 2 · 5 = 10.
Первая ошибка — считать сумму корней равной p. В формуле x₁ + x₂ = −p есть знак минус, потому что при раскрытии скобок появляется −(x₁ + x₂). Проверяйте знак, сравнивая коэффициент при x с записью уравнения.
Вторая ошибка — применять формулы приведённого уравнения к записи ax² + bx + c = 0. Если a не равно 1, сумма равна −b/a, а произведение c/a. Самопроверка проста: сначала найдите коэффициент при x².
Третья ошибка — путать сумму с произведением и коэффициенты p и q. В приведённом уравнении p связано с суммой через знак минус, а q является произведением. Полезно выписать обе формулы перед подбором корней.
Четвёртая ошибка — подобрать числа только по одному условию. Несколько пар могут иметь нужное произведение, но подходящей будет лишь та, у которой совпадает и сумма. После подбора обязательно выполните обе проверки.
До изучения теоремы нужны стандартный вид квадратного уравнения, его коэффициенты, понятие корня и разложение квадратного трёхчлена на множители. Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения, проверять найденные корни и составлять уравнение по заданным корням.
Она связана с дискриминантом: дискриминант показывает число действительных корней, а теорема Виета — их сумму и произведение. Эти формулы особенно полезны в задачах с параметрами, где корни должны удовлетворять дополнительному условию.
Почему в формуле суммы корней появляется знак минус?
При раскрытии скобок в произведении (x − x₁)(x − x₂) получается −(x₁ + x₂)x. Поэтому коэффициент при x равен сумме корней со знаком минус, то есть x₁ + x₂ = −p.
Можно ли применять теорему Виета, если уравнение не приведённое?
Можно, но нужно учитывать коэффициент a при x². Для уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a.
Как понять, какие числа нужно подобрать в задаче?
Сначала определите сумму и произведение корней по теореме Виета. Затем ищите пару чисел, которая одновременно даёт нужную сумму и нужное произведение.
Что делать, если корни не являются целыми числами?
Теорема Виета всё равно верна: корни могут быть дробными или иррациональными. Если подобрать их трудно, используйте дискриминант или формулу корней, а затем проверьте сумму и произведение.
Чем теорема Виета отличается от обратной теоремы Виета?
Обычная теорема позволяет найти сумму и произведение корней по уравнению. Обратная теорема действует наоборот: если известны два числа с нужными суммой и произведением, они являются корнями соответствующего приведённого уравнения.
3.6 Теорема Виета
