3.5 Решение неполных квадратных уравнений

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами: a — главным, b — коэффициентом при x, c — свободным членом. Условие a ≠ 0 показывает, что наибольшая степень переменной действительно равна 2.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b или c равны нулю либо оба коэффициента равны нулю. Поэтому в записи отсутствует член с x, свободный член или оба слагаемых. Такая особенность позволяет решать уравнение без общей формулы корней.

Чистое квадратное уравнение имеет вид ax² + c = 0. В нём нет члена с x, то есть коэффициент b равен нулю. Для решения обычно оставляют x² в одной части и определяют, можно ли извлечь из полученного числа действительный квадратный корень.

Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство. Например, если после подстановки обе части равны 0, найденное число является корнем. Это определение помогает проверять ответ и обнаруживать ошибки в преобразованиях.

Как это устроено

Если b = 0 или c = 0, уравнение всё равно остаётся квадратным, потому что коэффициент a при x² не исчезает и по-прежнему не равен нулю. Нулевой коэффициент просто означает, что одно из слагаемых отсутствует. Например, 3x² − 12x = 0 — квадратное уравнение, хотя свободного члена в нём нет.

В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых имеют общий множитель x. Поэтому их можно записать как x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или ax + b = 0; из второго равенства получаем x = −b/a.

В уравнении ax² + c = 0 сначала переносят c и делят обе части на a, получая x² = −c/a. Теперь решение зависит от знака числа справа. Если оно положительно, существуют два противоположных корня; если равно нулю, корень один; если отрицательно, квадрат действительного числа не может ему равняться.

Уравнение ax² = 0 решают делением обеих частей на a. Такое деление допустимо, потому что a ≠ 0, и получается x² = 0. Нулю равен только квадрат числа 0, поэтому единственный корень — x = 0.

Проверка нужна для подтверждения каждого найденного значения и полноты ответа. Подставляют корни именно в исходное уравнение, вычисляют левую часть и сравнивают её с правой. Если использовалось правило нулевого произведения, отдельно проверяют оба случая, чтобы не пропустить решение.

Виды неполных квадратных уравнений и способы их решения

Сначала сравните уравнение с первым столбцом и выберите подходящий способ. Затем выполните преобразование из второго столбца и проверьте условие из третьего. В записи ± нужно помнить о двух знаках: положительном и отрицательном.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 3x² − 12x = 0.

Свободного члена нет, поэтому удобно вынести x за скобки. После этого получится произведение двух множителей, равное нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1. Вынесем общий множитель 3x: 3x(x − 4) = 0.
2. По свойству нулевого произведения: 3x = 0 или x − 4 = 0.
3. Из первого равенства x = 0, из второго x = 4.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 4. Подстановка даёт 3·0² − 12·0 = 0 и 3·4² − 12·4 = 48 − 48 = 0, поэтому оба значения подходят.

Задача 2. Решить уравнение 2x² − 18 = 0.

В уравнении нет члена с x, значит, это чистое квадратное уравнение. Сначала оставим квадрат переменной один, а затем определим знак полученного числа. Положительное значение даст два противоположных корня.

1. Перенесём −18 вправо: 2x² = 18.
2. Разделим обе части на 2: x² = 9.
3. Извлечём квадратный корень: x = ±√9, то есть x = 3 или x = −3.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = −3. Проверка показывает: 2·3² − 18 = 0 и 2·(−3)² − 18 = 0.

Задача 3. Решить уравнение −5x² + 20 = 0 и проверить ответ.

Здесь также отсутствует член с x, поэтому сначала выразим x². Получившееся число положительно, следовательно, действительных корня будет два. Затем проверим оба значения в исходной записи.

1. Перенесём 20 вправо: −5x² = −20.
2. Разделим обе части на −5: x² = 4.
3. Извлечём корень с двумя знаками: x = ±√4, поэтому x = 2 или x = −2.
4. Проверим: −5·2² + 20 = −20 + 20 = 0; −5·(−2)² + 20 = −20 + 20 = 0.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = −2. Оба найденных значения обращают исходное уравнение в верное равенство.

Типичные ошибки

При разложении ax² + bx на множители иногда забывают вынести x или теряют коэффициент a. Ошибка появляется, если не проверить обратным раскрытием скобок полученное выражение. Раскройте скобки: должно снова получиться ax² + bx.

Из равенства x(ax + b) = 0 некоторые записывают только ax + b = 0. Причина в том, что первый множитель ошибочно считают несущественным. Всегда составляйте два случая: x = 0 и ax + b = 0.

При решении x² = d иногда записывают только √d и пропускают −√d. Это происходит потому, что вспоминают об обычном арифметическом корне, но забывают о двух числах с одинаковыми квадратами. Для d > 0 используйте запись x = ±√d.

В уравнении ax² + c = 0 можно не проверить знак числа −c/a и получить несуществующие действительные корни. Квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Сначала сравните −c/a с нулём, а уже потом извлекайте корень.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь выносить общий множитель за скобки и применять свойство нулевого произведения. Также понадобятся навыки решения линейных уравнений, чтобы находить x из равенства ax + b = 0.

При решении чистых уравнений используются квадратные корни и их свойства. Эти приёмы подготовят к решению полных квадратных уравнений, где к неполному виду добавляется ненулевой член с x.

Что запомнить

• В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент a не равен нулю.
• Если свободного члена нет, уравнение ax² + bx = 0 решают разложением на множители.
• Из равенства произведения нулю следует, что хотя бы один из множителей равен нулю.
• В уравнении ax² + c = 0 сначала находят значение x².
• Уравнение x² = d имеет два действительных корня при d > 0, один при d = 0 и ни одного при d < 0.
• Уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.