3.4 Решение задач

Определения и обозначения

Математическая модель — это запись условия задачи с помощью переменных, чисел, формул и уравнений. Например, если ширина прямоугольника равна x, а длина на 2 см больше, то длину можно записать как x + 2, а площадь — как x(x + 2). Такая модель нужна, чтобы заменить длинное описание короткой записью, с которой можно выполнять математические действия.

Составить уравнение по условию задачи — значит записать равенство, которое выражает связь между величинами из условия. Неизвестное обычно обозначают переменной, например x, потому что его значение предстоит найти, а другие величины часто можно выразить через него. Если ширина равна x, то длина на 2 см больше неё равна x + 2; это помогает перевести слова задачи в формулы и получить уравнение.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение становится верным. Однако корень становится ответом задачи только после проверки: он должен удовлетворять исходным связям и иметь подходящий смысл. Например, отрицательное значение может быть корнем уравнения, но не может обозначать длину стороны прямоугольника.

Как это устроено

Начни с выбора неизвестной величины и запиши, что именно она обозначает, вместе с единицами измерения. Удобно выбирать такую величину, через которую просто выразить другие данные: если известна разность длин, одну длину можно обозначить x, а вторую записать как x плюс эта разность. Затем составь уравнение, реши его и проверь полученные значения. Такой порядок помогает не терять связь между вычислениями и условием.

Квадратное уравнение появляется, когда по условию нужно перемножить величины, выраженные через неизвестную. Например, у прямоугольника со сторонами x и x + 2 площадь равна x(x + 2), поэтому при площади 48 см² получаем x(x + 2) = 48. Чтобы решить уравнение привычным способом, раскрывают скобки и переносят все слагаемые в одну часть: x² + 2x − 48 = 0. Стандартный вид удобен тем, что в нём видны коэффициенты и можно выбрать подходящий способ решения квадратного уравнения.

Условия задачи задают ограничения на возможные значения переменной. Длина и время обычно должны быть положительными, а если речь идёт о натуральных числах, неизвестное должно быть натуральным. Поэтому даже найденный корень, который удовлетворяет уравнению, может не подойти: например, отрицательное время не имеет смысла в обычной задаче о движении. Такие ограничения помогают заранее понять, какие ответы можно оставить.

После решения нужно проверить каждый найденный корень именно в исходном условии, а не только в преобразованном уравнении. При преобразованиях можно получить несколько корней, хотя смысл задачи подходит лишь одному, или заметить, что величины вообще нарушают ограничения. Подстановка помогает убедиться, что нужные равенства выполняются и ни одно условие не забыто. Если корень не проходит проверку, его исключают и объясняют причину.

Для проверки подставь найденные значения в связи из условия: вычисли, например, площадь, сумму расстояний или произведение чисел. Затем сравни результат с заданным и проверь единицы измерения. В конце запиши ответ словами, чтобы было ясно, к какой величине относятся числа. Так решение показывает не только вычисления, но и то, как они отвечают на вопрос задачи.

Этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения

Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда предыдущий выполнен и понятен. Особенно внимательно проверяй, что переменная обозначает именно ту величину, которую ты выразил в уравнении. В конце вернись к вопросу задачи и запиши результат в подходящем виде.

Разбор задач

Задача. Площадь прямоугольника равна 48 см², а его длина на 2 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

1. Обозначим ширину через x см. Тогда длина равна x + 2 см, потому что она на 2 см больше ширины.
2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому составим уравнение: x(x + 2) = 48. Раскроем скобки и перенесём 48 влево: x² + 2x − 48 = 0.
3. Разложим левую часть на множители: (x − 6)(x + 8) = 0. Получаем x = 6 или x = −8, но ширина не может быть отрицательной, поэтому оставляем только x = 6.
4. Проверим: длина равна 6 + 2 = 8 см, площадь 6 · 8 = 48 см². Значит, обе стороны подходят условию.

Ответ: ширина — 6 см, длина — 8 см.

Задача. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого; они встретились через 2 часа. Найдите их скорости.

1. Обозначим меньшую скорость через x км/ч. Тогда скорость второго велосипедиста равна x + 3 км/ч.
2. За 2 часа велосипедисты вместе проехали 36 км. Складываем их пути: 2x + 2(x + 3) = 36. После упрощения получаем 4x + 6 = 36, откуда x = 7,5.
3. Вторая скорость равна 7,5 + 3 = 10,5 км/ч. Обе скорости положительны, их разность равна 3 км/ч, а общий путь за 2 часа составляет 15 + 21 = 36 км.

Ответ: скорости велосипедистов — 7,5 км/ч и 10,5 км/ч. В этой задаче условие приводит к линейному, а не квадратному уравнению: пути складываются, а не перемножаются.

Задача. Два последовательных натуральных числа имеют произведение 156. Найдите эти числа.

1. Обозначим меньшее число через n. Тогда следующее за ним число равно n + 1, так как числа последовательные.
2. Запишем их произведение: n(n + 1) = 156. После раскрытия скобок и переноса получаем квадратное уравнение n² + n − 156 = 0.
3. Разложим выражение на множители: (n − 12)(n + 13) = 0. Корни — 12 и −13, но натуральным является только 12. Тогда следующее число равно 13.
4. Проверим произведение: 12 · 13 = 156. Оба числа натуральные и отличаются на единицу, поэтому условие выполнено.

Ответ: 12 и 13.

Типичные ошибки

Если обозначить переменную, не объяснив её смысл, легко перепутать, какую величину нужно прибавить или вычесть. Так бывает, когда сразу переходят к формулам, не выделив неизвестное в тексте. Проверь себя: подпиши, что означает x, и укажи единицы измерения. Затем убедись, что каждая другая величина выражена именно через эту переменную.

Уравнение может не отражать задачу, если записать только отдельные числа и забыть одну из связей условия. Например, при движении нужно учитывать путь каждого участника и время, а не просто складывать скорости с расстоянием. Обычно эта ошибка возникает из-за спешки при переводе текста в формулы. Для проверки перечитай условие по частям и сопоставь каждое равенство с конкретным предложением задачи.

Нельзя автоматически объявлять все корни квадратного уравнения ответами. Корень может быть отрицательным, хотя речь идёт о длине, или не быть натуральным числом, когда ищут натуральные числа. Часто забывают ограничения, потому что сосредоточиваются на решении уравнения. Перед выбором ответа проверь смысл каждого значения и выпиши, какие значения переменной допустимы по условию.

Если записать только числа, читателю будет непонятно, что именно найдено и подходят ли значения задаче. К этому приводит желание закончить после вычислений, не возвращаясь к вопросу. Подставь результаты в исходные связи, а затем сформулируй ответ словами. Не забудь единицы измерения: например, стороны прямоугольника указывают в сантиметрах, а скорости — в километрах в час.

Связь с другими темами

Для решения задач с уравнениями нужно уметь решать квадратные уравнения и преобразовывать буквенные выражения: раскрывать скобки и переносить слагаемые. При составлении модели используются знакомые формулы и зависимости, например путь равен произведению скорости на время, а площадь прямоугольника — произведению его сторон. Тот же способ помогает решать задачи по геометрии и физике, а позднее — составлять модели для более сложных уравнений. Умение связывать текст и формулы полезно не только в алгебре.

Что запомнить

• Сначала выбери неизвестную и укажи, что она обозначает.
• Остальные величины выражай через выбранную переменную.
• Уравнение должно точно передавать условие задачи.
• Реши уравнение и проверь каждый корень по смыслу.
• Ответ записывай с единицами измерения и в контексте задачи.