"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Последовательные изменения величины часто описываются прогрессиями: при постоянном прибавлении получается арифметическая прогрессия, при постоянном умножении — геометрическая. Такая модель помогает найти значение на нужном шаге или общий итог за несколько шагов. Чтобы решить задачу, выделяют изменяющуюся величину, задают её члены по номерам, выбирают подходящую формулу и проверяют, подходит ли ответ к условию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Последовательность величин — это значения одной и той же величины, расположенные по порядку: например, число страниц, прочитанных в каждый день. Её член с номером n обозначают aₙ, где n показывает место значения в последовательности. Такая запись нужна, чтобы связать этап задачи с числом и не путать начальное значение с последующими.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число d. Это число называют разностью прогрессии: aₙ₊₁ − aₙ = d. Модель подходит, когда величина при каждом шаге увеличивается или уменьшается на одинаковую величину, например выработка ежедневно растёт на 2 детали.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Число q называют знаменателем прогрессии: aₙ₊₁ = aₙq. Такая модель описывает изменения в одно и то же число раз, например уменьшение величины вдвое на каждом этапе.
Формула n-го члена выражает значение на конкретном шаге, а формула суммы первых n членов — общий итог нескольких шагов. Для арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d, для геометрической aₙ = a₁qⁿ⁻¹. Эти формулы позволяют перейти от описания изменений к вычислениям и выбрать, что именно искать: отдельное значение или накопленный результат.
Сначала из текста выделяют одну изменяющуюся величину: например, число деталей за день или высоту подъёма мяча. Затем находят её начальное значение и выясняют, что происходит при переходе к следующему этапу. Такое разделение необходимо, потому что в одной задаче могут упоминаться разные величины, но прогрессия описывает только выбранную последовательность.
Если на каждом шаге к величине прибавляют одно и то же число или вычитают его, разность соседних значений постоянна, поэтому получается арифметическая прогрессия. Если каждый раз умножают на одно и то же число или делят на него, постоянно отношение соседних членов, поэтому получается геометрическая прогрессия. Сам факт роста или убывания ничего не решает: например, последовательность может расти, но приращения при этом будут разными.
Выбор формулы зависит от вопроса задачи. Когда спрашивают, сколько было на конкретном этапе, находят один член по его номеру; когда спрашивают общий объём за несколько этапов, складывают значения и используют формулу суммы. Подстановка формулы суммы вместо формулы члена даёт итог нескольких значений, а не значение одного дня, поэтому сначала нужно точно определить, что требуется найти.
После выбора модели обозначают неизвестные и записывают связь между известными данными и искомой величиной. Если неизвестен шаг изменения, его можно обозначить буквой и подставить выражение для членов или суммы в уравнение; если неизвестны несколько величин, составляют систему. Решив уравнение, не останавливаются на вычислении: результат проверяют в исходном описании, чтобы убедиться, что он действительно отвечает на вопрос.
Номер шага должен соответствовать устройству ситуации: обычно это натуральное число, а первый этап имеет номер 1. Формула n-го члена содержит n − 1 переходов от первого члена, потому что от первого дня до второго один переход, а от первого до седьмого — шесть. Найденное значение также должно быть допустимым: например, число изготовленных деталей не может быть отрицательным, а длительность этапа в условии может требовать целого числа.
| Что происходит с величиной | Модель | Формула для значения на шаге n | Когда применять формулу суммы |
|---|---|---|---|
| При каждом шаге прибавляют одно и то же число | Арифметическая прогрессия | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Когда нужно узнать общий объём или количество за несколько шагов |
| При каждом шаге умножают на одно и то же число | Геометрическая прогрессия | aₙ = a₁qⁿ⁻¹ | Когда нужно сложить значения за несколько шагов |
| Нужно найти значение на определённом шаге | Арифметическая или геометрическая — по правилу изменения | Формула n-го члена выбранной прогрессии | Сумма не нужна, если требуется только одно значение |
| Нужно найти общий объём или количество за несколько шагов | Арифметическая или геометрическая — по правилу изменения | Сначала определяют члены последовательности | Используют сумму первых n членов |
Сначала определите, постоянны ли разности или отношения соседних значений, и выберите модель. Затем посмотрите на вопрос: одно значение требует формулы члена, а общий итог — формулы суммы. Если в задаче есть неизвестный шаг изменения, его можно включить в формулу как переменную и составить уравнение.
В первый день ученик прочитал 12 страниц, а каждый следующий день читал на 3 страницы больше. Нужно узнать, сколько страниц он прочитал в седьмой день. Количество страниц ежедневно увеличивается на одно и то же число, значит, это арифметическая прогрессия с a₁ = 12 и d = 3. Ищем значение одного дня, поэтому нужна формула n-го члена, а не сумма.
Ответ: в седьмой день ученик прочитал 30 страниц. Проверка показывает, что получено именно значение седьмого дня, а не число страниц за все семь дней. Рост на каждом переходе равен условию задачи.
После каждого удара мяч поднимается на половину высоты предыдущего подъёма, а начальная высота равна 8 м. Нужно найти высоту после шестого удара. Каждый новый подъём вдвое меньше предыдущего, поэтому задаём геометрическую прогрессию с a₁ = 8 и q = ½, считая начальную высоту первым значением перед первым ударом. После шести ударов прошло шесть изменений, поэтому искомая высота равна 8 · (½)⁶.
Ответ: после шестого удара мяч поднимется на ⅛ м. Здесь важно отличать начальную высоту от высоты после первого удара: она уже уменьшена вдвое. Поэтому для шести ударов выполнено шесть умножений на ½.
Рабочий изготовил в первый день 18 деталей, а затем ежедневно увеличивал выработку на одинаковое число деталей. За 10 дней он изготовил 315 деталей; требуется найти выработку в десятый день. Обозначим ежедневное увеличение через d: получаем арифметическую прогрессию с a₁ = 18 и a₁₀ = 18 + 9d. Известен общий итог, поэтому связываем данные формулой суммы S₁₀ = 10(a₁ + a₁₀)/2.
Ответ: к концу десятидневного срока рабочий делал 45 деталей в день. Проверка подтверждает, что найденное увеличение даёт указанный общий объём. Число деталей и шаг изменения положительны и соответствуют условию.
Ошибка — выбирать арифметическую прогрессию только потому, что величина растёт. Рост может происходить с разными приращениями, поэтому сначала сравните разности соседних значений. Если они не одинаковы, арифметическая модель не подходит; для геометрической отдельно проверьте отношения.
Можно перепутать номер члена и число переходов от первого значения. В формуле стоит n − 1, поскольку до первого члена переходов ещё не было; поэтому седьмой член получают после шести изменений. Чтобы проверить себя, выпишите первые несколько этапов или посчитайте переходы между ними.
Иногда для отдельного этапа используют формулу суммы или, наоборот, ищут общий итог по формуле одного члена. Такое происходит, когда вопрос задачи читают невнимательно. Перед вычислением сформулируйте искомое своими словами: «значение в день» означает член, а «всего за дни» — сумму.
Нельзя оставлять найденный корень без проверки в исходной ситуации. Уравнение может дать отрицательное значение, нецелый номер этапа или величину, запрещённую условием. Подставьте результат обратно и проверьте допустимость номера, единицы измерения и самого значения.
Для решения задач на прогрессии нужно уметь переводить текст в уравнение и преобразовывать выражения. Также необходимо знать определения и формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий. Работа с последовательными изменениями связана с математическим моделированием: тот же подход применяют в финансовых расчётах и задачах на рост или убывание. Он помогает описать правило изменения и предсказать результат на нужном этапе.
Как понять, какую прогрессию нужно использовать в задаче?
Сравните соседние значения величины. Если каждый раз прибавляют или вычитают одно и то же число, это арифметическая прогрессия; если умножают или делят на одно и то же число — геометрическая.
Как отличить постоянную разность от постоянного отношения?
Найдите разности соседних членов: если они одинаковы, изменение аддитивное. Если одинаковы отношения следующего члена к предыдущему, изменение происходит в одно и то же число раз.
Когда нужно применять формулу n-го члена, а когда формулу суммы?
Формула n-го члена нужна, чтобы найти величину на конкретном шаге. Формула суммы нужна, когда требуется общий накопленный объём или количество за несколько шагов.
Как определить номер члена, если в условии говорится о днях или этапах?
Сначала выясните, какой день или этап соответствует первому члену. Если первый день — это первый член, то, например, седьмой день соответствует a₇; число переходов до него равно шести.
Почему найденный корень уравнения нужно проверять по условию задачи?
Уравнение может дать несколько корней, но не каждый имеет смысл в описанной ситуации. Номер шага должен быть допустимым, а искомая величина — удовлетворять ограничениям задачи.
3.4. Решение задач
