3.6. Решение задач

Определения и обозначения

Математическая модель — запись условий задачи с помощью переменных, выражений и уравнений. Она заменяет длинное словесное описание короткими математическими связями, которые можно вычислять и преобразовывать. Модель нужна, чтобы не потерять важные отношения между величинами.

Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обычно обозначают буквой, например x, чтобы временно представить неизвестное число и выразить через него другие величины. Удачный выбор переменной делает решение короче и понятнее.

Уравнение по условию задачи — равенство, которое выражает связь между величинами задачи. Оно возникает, когда мы записываем словами заданное условие: например, что произведение двух чисел равно 84 или что общее время равно 5 часам. Решая уравнение, мы находим значения, при которых эта связь выполняется.

Проверка ответа — сопоставление найденных значений с исходными условиями и ограничениями на величины. Корень уравнения может не иметь смысла в задаче, например давать отрицательную длину. Проверка помогает оставить только подходящие значения и ответить именно на вопрос задачи.

Как это устроено

Решение начинают с разбора условия: нужно выяснить, какие величины известны, что требуется найти и как эти величины связаны. Такой разбор предотвращает случайный выбор формулы и помогает заметить все данные задачи. Полезно кратко записать известные значения и вопрос, а затем определить, какие связи между ними названы прямо или следуют из смысла.

Выбор неизвестной влияет на то, насколько сложным получится уравнение. Не обязательно обозначать именно то, о чём спрашивают: иногда удобнее выбрать величину, от которой остальные зависят простым способом. Например, если длина на 7 м больше ширины, обозначение ширины через x сразу даёт длину x + 7, а не требует дополнительных переменных.

Чтобы перевести текст в уравнение, выражают зависимости одну за другой. Слова «на 5 больше» означают прибавление 5, а «в 5 раз больше» — умножение на 5; поэтому эти формулировки нельзя путать. Затем используют главное условие задачи: если сказано, что произведение равно 84, записывают равенство для произведения выраженных величин.

Полученное уравнение решают известными алгебраическими приёмами. При преобразованиях важно сохранять равносильность: например, можно прибавить одно и то же число к обеим частям или перенести слагаемые с изменением знака. Если действие может изменить множество решений, нужно отдельно учесть его условия, чтобы не потерять корни и не добавить лишние.

После решения уравнения найденные корни проверяют по смыслу задачи. Уравнение учитывает записанные связи, но само по себе не сообщает, допустимы ли значения, например, как длина или время. Нужно подставить корни в исходные условия, проверить ограничения и только затем сформулировать ответ с нужными единицами измерения.

Этапы решения задачи с помощью уравнения

Таблица помогает пройти решение по порядку: на каждом этапе есть конкретное действие и контрольный вопрос. Заполняй её мысленно или письменно, особенно если в условии несколько величин и связей. Если проверка на каком-то шаге не проходит, вернись к записи условия, а не исправляй уравнение наугад.

Разбор задач

Задача 1. Два числа отличаются на 5, а их произведение равно 84. Найдите числа.

1. Обозначим меньшее число через x. Тогда большее число равно x + 5, потому что оно на 5 больше.
2. Их произведение равно 84, поэтому составляем уравнение: x(x + 5) = 84. После раскрытия скобок получаем x² + 5x − 84 = 0, то есть (x − 7)(x + 12) = 0.
3. Корни: x = 7 или x = −12. При x = 7 второе число равно 12, а при x = −12 второе число равно −7. Обе пары отличаются на 5 и имеют произведение 84.

Ответ: 7 и 12 или −12 и −7.

Задача 2. Прямоугольный участок имеет площадь 120 м², его длина на 7 м больше ширины. Найдите стороны участка.

1. Обозначим ширину через x метров. Тогда длина равна x + 7 метров; обе стороны участка должны быть положительными.
2. Площадь прямоугольника равна произведению сторон, значит x(x + 7) = 120. Получаем квадратное уравнение x² + 7x − 120 = 0, которое раскладывается на множители: (x − 8)(x + 15) = 0.
3. Корни равны 8 и −15. Отрицательный корень не подходит, потому что ширина не может быть отрицательной; при x = 8 длина равна 15, и 8 · 15 = 120.

Ответ: ширина 8 м, длина 15 м.

Задача 3. Катер прошёл 36 км по течению и 30 км против течения; на весь путь он затратил 5 часов. Скорость течения равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

1. Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда скорость по течению — x + 2, а против течения — x − 2; чтобы катер мог идти против течения, должно быть x > 2.
2. Время равно расстоянию, делённому на скорость. Поэтому суммарное время задаёт уравнение 36/(x + 2) + 30/(x − 2) = 5.
3. Умножив равенство на (x + 2)(x − 2), получаем 36(x − 2) + 30(x + 2) = 5(x² − 4), или 5x² − 66x − 8 = 0. Положительный корень равен (33 + √1129)/5 ≈ 12,92; второй корень отрицателен и условию x > 2 не подходит.
4. Подстановка найденного значения в выражение для времени даёт 5 часов, а скорость больше 2 км/ч. Значит, значение согласуется с условием и ограничением.

Ответ: (33 + √1129)/5 км/ч, приблизительно 12,92 км/ч.

Типичные ошибки

Если обозначить неизвестную, не разобрав связи между величинами, можно получить громоздкое или неверное уравнение. Так бывает, когда переменную выбирают только потому, что она названа в вопросе, не подумав о простоте выражений. Перед составлением уравнения проверь, можно ли выразить остальные величины через выбранную переменную без лишних неизвестных.

Часто путают выражения «на несколько больше» и «в несколько раз больше» или неверно записывают сумму и произведение. Причина — в том, что обычные слова сразу переводят в символы, не проговаривая математическую связь. Проверь запись на простом примере: если x = 4, то «на 3 больше» должно дать 7, а «в 3 раза больше» — 12.

Уравнение может быть составлено по одной части условия, например по разности величин, но без условия об их произведении. Тогда корни удовлетворяют записанному равенству, однако исходной задаче не отвечают. Перед решением сверь каждую часть уравнения с конкретной фразой условия и убедись, что использованы все необходимые данные.

Ещё одна ошибка — записать в ответ все корни уравнения. Некоторые значения противоречат смыслу задачи: дают отрицательное время, длину или недопустимую скорость. Проверь каждый корень подстановкой в исходные связи и отдельно проверь ограничения, которые следуют из условий задачи.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки обозначения неизвестной, составления выражений и решения линейных и квадратных уравнений. Те же приёмы моделирования применяются в задачах на движение, работу, площади и зависимости между величинами. Связь с функциями позволяет изучать модель графически: например, находить решения уравнения как точки пересечения графиков. Так алгебраические вычисления дополняются наглядным исследованием.

Что запомнить

• Сначала разберись в связях между величинами, потом составляй уравнение.
• Выбирай неизвестную так, чтобы остальные величины было удобно выразить через неё.
• Уравнение должно отражать главное условие задачи.
• Решение уравнения даёт кандидатов на ответ, а не всегда готовый ответ.
• Каждый найденный корень нужно проверить по смыслу и ограничениям задачи.
• Ответ записывай в соответствии с вопросом задачи и с указанием единиц измерения.