"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Текстовую задачу удобно решать через уравнение: оно связывает известные и неизвестные величины из условия. Сначала выбирают величину и обозначают её буквой, затем выражают через неё остальные данные и записывают равенство. Решение уравнения даёт возможные значения, но не каждое из них обязательно подходит задаче: длина, время и другие реальные величины должны отвечать ограничениям условия. Поэтому завершающий шаг — проверка и запись ответа с единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель задачи — уравнение, описывающее связи между величинами из условия. Она нужна, чтобы перейти от слов к знакомым действиям: решая уравнение, мы находим неизвестное по заданным отношениям. Хорошая модель сохраняет смысл условия, а не просто содержит числа из него.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обозначают буквой, обычно x, и сразу поясняют, что именно она означает, например: «пусть x — ширина прямоугольника в сантиметрах». Такое пояснение помогает не перепутать неизвестную с другими величинами и правильно составить выражения.
Корень уравнения — значение неизвестной, при котором равенство становится верным. Например, x = 3 — корень уравнения 2x = 6. В задаче корень уравнения может быть возможным ответом, но его ещё нужно сопоставить с ограничениями и смыслом условия.
Проверка ответа — сопоставление найденного значения с исходным условием и его ограничениями. Для проверки подставляют найденные величины в отношения, описанные в задаче, и убеждаются, что они выполняются. Это помогает обнаружить ошибку в вычислениях или в модели.
Сначала выбери величину, которую проще связать с остальными, и обозначь её буквой. Часто удобно взять неизвестной именно то, о чём спрашивают, потому что тогда решение сразу даст искомое значение. Обязательно подпиши смысл буквы и единицы измерения: запись «x — скорость меньшего велосипедиста, км/ч» точнее, чем просто «x — скорость». Если остальные величины выражаются через неё простыми формулами, выбранное обозначение удобно.
Чтобы получить уравнение, переведи каждую связь из условия в математическую запись. Слова «на 5 больше» превращаются в выражение x + 5, а «всего» часто указывает на сумму. В задачах о движении связь расстояния, скорости и времени задаёт формула s = vt; для прямоугольника используются формулы P = 2(a + b) и S = ab. Не собирай уравнение только по ключевым словам: проверь, какие именно величины сравниваются или складываются.
До решения подумай, какие значения неизвестной имеют смысл. Длина стороны и время должны быть положительными, а количество предметов обычно выражается целым числом. Эти ограничения помогают заранее заметить невозможный результат и позже правильно отобрать корни. Их можно записать как условие, например x > 0, если x обозначает длину.
Когда уравнение составлено, реши его способом, который уже знаком: линейное уравнение упростить и решить переносом слагаемых, квадратное — разложением на множители или по формуле корней. На этом этапе важно аккуратно выполнять равносильные преобразования, чтобы не потерять подходящие значения. После решения выпиши все найденные корни, а не только первый.
Затем сравни каждый корень с условиями задачи и отбрось те, которые не могут обозначать нужную величину. Например, если корень отрицательный, он не годится для ширины или времени, хотя может удовлетворять уравнению. Оставшееся значение нужно проверить по исходным отношениям: например, пересчитать периметр или сумму пройденных расстояний. Такая проверка подтверждает, что ответ подходит самой задаче, а не только полученной записи.
| Этап | Что сделать | Что проверить |
|---|---|---|
| Выбор неизвестной | Обозначить буквой искомую или удобную величину | Понятен ли смысл буквы и указаны ли единицы |
| Выражение остальных величин | Записать их через неизвестную | Соответствуют ли выражения словам и данным условия |
| Составление уравнения | Записать равенством основную связь величин | Описывает ли равенство условие задачи |
| Решение уравнения | Найти все корни подходящим способом | Верно ли выполнены преобразования |
| Отбор корней | Оставить значения, подходящие по смыслу | Выполнены ли ограничения задачи |
| Запись ответа | Указать искомые величины и единицы | Проверен ли ответ по исходному условию |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: к следующему этапу переходи, когда проверил предыдущий. Если ответ не сходится с условием, вернись к выражениям и уравнению — ошибка могла появиться ещё при построении модели.
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его длина на 3 см больше ширины. Найдём стороны. Удобно обозначить неизвестной ширину: тогда длина выражается через неё, и обе стороны можно подставить в формулу периметра. Обе величины должны быть положительными.
Ответ: ширина 7 см, длина 10 см.
Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 48 км. Скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого, встретились они через 2 часа. Пусть x — скорость более медленного велосипедиста в км/ч. Тогда второй проедет большее расстояние за те же 2 часа, а сумма пройденных расстояний составит 48 км.
Ответ: скорости велосипедистов — 10 км/ч и 14 км/ч.
Площадь прямоугольного участка равна 84 м², а его длина на 5 м больше ширины. Обозначим ширину через x: тогда площадь задаётся произведением x и x + 5. Получится квадратное уравнение, у которого один из корней будет отрицательным, поэтому потребуется отбор по смыслу.
Ответ: ширина участка 7 м, длина 12 м.
Не пояснить, что обозначает выбранная буква, — значит оставить непонятным, какая величина скрывается за x. Это часто случается, когда решение начинают сразу с уравнения и не записывают обозначение. В результате легко перепутать неизвестную и выраженную через неё величину. Проверь себя: подпиши x словами и единицами, а каждое выражение прочитай вслух.
Составление уравнения по отдельным словам без проверки связи может дать равенство, которое не описывает ситуацию. Например, слова «на 4 больше» сами по себе не объясняют, какие величины нужно сложить или приравнять. Ошибку допускают, когда торопятся перейти от текста к вычислениям. Проверь, можно ли прочитать обе части уравнения как величины, связанные условием.
Если принять все корни за ответы, можно получить невозможную длину или время. Уравнение учитывает записанную связь, но не обязательно ограничения на реальные величины. Поэтому до решения полезно отметить допустимые значения x, а после — сравнить с ними каждый корень. Отрицательный корень для ширины нужно отбросить, даже если он обращает уравнение в верное равенство.
Если не подставить результат в исходное условие, можно пропустить ошибку в модели или вычислениях. Проверка только в уравнении не выявит неверно записанное равенство: его корни могут быть найдены без ошибок, хотя само уравнение не подходит задаче. Вернись к данным условия и проверь их напрямую — например, пересчитай площадь или общий путь. Затем запиши ответ с единицами измерения.
Для решения текстовых задач нужно уметь составлять и решать линейные и квадратные уравнения, а также пользоваться формулами геометрии и движения. Формулы периметра, площади, скорости и времени помогают перевести отношения из условия в уравнение. Составление такого уравнения — пример математического моделирования: реальные сведения описываются математическими символами. Этот навык пригодится в задачах на движение, работу, проценты и геометрические величины.
Как понять, какую величину удобнее обозначить за x?
Выбирай величину, через которую проще всего выразить остальные. Часто удобно обозначить за x то, о чём спрашивают, и сразу записать, что именно означает x и в каких единицах он измеряется.
Как перейти от условия задачи к уравнению?
Сначала вырази нужные величины через выбранную неизвестную, затем найди в условии связь между ними. Запиши эту связь равенством, используя подходящую формулу и проверь, что обе части описывают одно и то же.
Почему уравнение может иметь корень, который не подходит к задаче?
Уравнение описывает найденную связь, но само по себе не учитывает все смысловые ограничения условия. Например, отрицательный корень может быть допустим для уравнения, но не может означать длину или время.
Обязательно ли проверять ответ в исходном условии?
Да: подстановка в исходные отношения помогает заметить ошибку в вычислениях или в составленной модели. Одной проверки в уравнении недостаточно, если оно было составлено неверно.
Как правильно записать ответ, если величины измеряются в разных единицах?
Укажи каждую найденную величину отдельно и поставь рядом её единицу измерения. Если значения даны в разных единицах, не складывай их и не сравнивай, пока не приведёшь к одной единице.
4.6. Решение задач
