5.3. Решение задач

Определения и обозначения

Текстовая задача — условие, которое описывает ситуацию и требует найти неизвестные величины. В нём важно отделить известные данные от вопроса: например, площадь и разность сторон могут быть известны, а сами стороны — нет. Такой разбор помогает понять, какие сведения нужно связать уравнением.

Неизвестная величина — искомое число, которое обозначают переменной, обычно буквой x. Например, если требуется найти ширину прямоугольника, можно назвать её x, а длину выразить через ширину. Выбор переменной зависит от условия: удобнее брать ту величину, через которую остальные проще записать.

Математическая модель — уравнение или система соотношений, описывающие условие задачи. Она связывает известные данные с неизвестными: если известна площадь прямоугольника, в модель входит произведение его сторон. Такая запись позволяет заменить описание ситуации вычислениями и найти искомое.

Проверка корня — сопоставление найденного решения уравнения с исходным условием задачи. Корень может удовлетворять уравнению, но не иметь смысла в описанной ситуации: например, быть отрицательной длиной. Проверка нужна, чтобы выбрать допустимый ответ, а не просто переписать корни.

Как это устроено

Прежде чем записывать уравнение, прочитай условие и выясни, что известно и что требуется найти. Затем отметь отношения между величинами: одна может быть на несколько единиц больше другой, их сумма может быть задана, а произведение — равно площади. Это нужно потому, что отдельные числа сами по себе ещё не дают уравнения; его создаёт именно связь между ними. Если не разобрать связь заранее, легко использовать верные данные не в том порядке.

Выбирая неизвестную, подумай, какая величина позволит короче выразить остальные. Если ширина прямоугольника неизвестна, а длина на 5 м больше, удобно взять ширину за x, а длину записать как x + 5. Пояснение «пусть x — ширина в метрах» не формальность: оно помогает не перепутать величины и понимать, что означают полученные корни. Если выбрать другую величину, задача тоже может решиться, но выражения иногда станут сложнее.

Переводить условие в уравнение нужно по смыслу, а не по отдельным словам. Например, фраза «произведение двух чисел равно 56» означает, что первое число умножают на второе, а не складывают. Для последовательных чисел второе выражают через первое, а затем записывают произведение. После раскрытия скобок такая модель может стать квадратным уравнением, потому что в ней появляется переменная во второй степени.

Составленное квадратное уравнение решают известным способом: разложением на множители, выделением квадрата двучлена или по формуле корней. Если получилось два корня, пока не выбирай один из них и не отбрасывай другой. Уравнение отражает математическую связь, а не все дополнительные условия ситуации. Оба значения нужно сохранить, чтобы проверить их отдельно.

После решения подставь каждый корень в смысл задачи: оцени, допустимы ли его знак, величина и вид числа. Например, сторона не может быть отрицательной, а если ищут натуральные числа, подходят только целые положительные значения. Иногда полезно подставить ответ обратно в исходное условие и проверить, что связь выполняется. В конце сформулируй ответ словами: так ясно, какие именно величины найдены.

Этапы решения текстовой задачи с помощью уравнения

Пользуйся таблицей как маршрутом решения: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. Особенно внимательно сверяй уравнение с условием и проверяй корни по смыслу задачи. Последний этап — ответ словами, а не список чисел без пояснений.

Разбор задач

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 56. Найдите эти числа.

Последовательные натуральные числа отличаются на единицу, поэтому достаточно обозначить меньшее. Их произведение должно равняться 56. Квадратное уравнение даст два корня, и условие о натуральных числах понадобится при проверке.

1. Пусть меньшее число равно x, тогда следующее число равно x + 1. Оба числа должны быть натуральными.
2. Запишем произведение: x(x + 1) = 56. Получаем x² + x − 56 = 0, то есть (x − 7)(x + 8) = 0.
3. Корни уравнения: x = 7 и x = −8. Значение −8 не подходит, так как числа должны быть натуральными; при x = 7 соседнее число равно 8.

Ответ: 7 и 8.

Прямоугольный участок имеет площадь 84 м², а его длина на 5 м больше ширины. Найдите стороны участка.

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Выразим длину через ширину, чтобы в уравнении осталась одна переменная. Отрицательный корень может появиться при решении, но шириной участка он быть не может.

1. Пусть ширина участка равна x м, тогда длина равна x + 5 м. По смыслу x должна быть положительной величиной.
2. Используем формулу площади: x(x + 5) = 84. Получаем x² + 5x − 84 = 0, или (x − 7)(x + 12) = 0.
3. Корни: x = 7 и x = −12. Отрицательная ширина невозможна, поэтому ширина равна 7 м, а длина — 7 + 5 = 12 м. Проверка: 7 · 12 = 84 м².

Ответ: ширина участка 7 м, длина 12 м.

Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 300 км. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости другого; встреча произошла через 2 часа. Найдите скорости автомобилей.

До встречи автомобили вместе преодолели расстояние между пунктами. Поэтому сумму их путей можно выразить через скорости и время. В условии говорится, что одна скорость на 10 км/ч больше другой, значит, достаточно обозначить меньшую скорость.

1. Пусть скорость более медленного автомобиля равна x км/ч, тогда скорость второго равна x + 10 км/ч.
2. За 2 часа они проехали 2x км и 2(x + 10) км. Сумма этих расстояний равна 300 км: 2x + 2(x + 10) = 300.
3. Решим уравнение: 4x + 20 = 300, 4x = 280, x = 70. Вторая скорость равна 80 км/ч; обе скорости положительны, а их пути за 2 часа составляют 140 км и 160 км.

Ответ: скорости автомобилей 70 км/ч и 80 км/ч.

Типичные ошибки

Не пояснять, что обозначает переменная. Тогда можно перепутать, например, ширину и длину, а выражение для второй величины составить неверно. Так случается, когда ученик спешит перейти к вычислениям. Проверь себя: рядом с записью x должно быть ясное пояснение с названием величины и, если нужно, единицей измерения.

Составлять уравнение по отдельным словам. Слова «больше», «сумма» или «произведение» подсказывают действия, но важно понять, какие именно величины связаны. Иначе можно сложить стороны там, где требуется найти площадь. Проверь уравнение пересказом: совпадает ли каждая его часть с отношением из условия?

Сразу отбрасывать один из корней. Иногда ученик заранее ждёт только положительный ответ и не замечает, что корней уравнения может быть два. Но нельзя решать, подходит ли значение, до проверки всех найденных вариантов. Запиши оба корня, а затем для каждого отдельно укажи, выполняет ли он ограничения задачи.

Записывать корни как готовый ответ без проверки. Уравнение может допускать отрицательную длину или число, не являющееся натуральным, хотя в задаче такие значения невозможны. Ошибка возникает, если считать математическое решение и ответ задачи одним и тем же. Проверь смысл и ограничения, а затем запиши только допустимые величины словами.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь составлять и решать квадратные уравнения, выполнять действия с выражениями и раскрывать скобки. Эти умения позволяют перейти от словесного условия к вычислениям. Если алгебраические преобразования вызывают затруднение, сначала повтори их.

Модель задачи часто строится с помощью знакомых связей: пропорций, формулы площади или зависимости пути от скорости и времени. Например, для прямоугольника используют S = ab, а для движения — s = vt. Нужную формулу выбирают не по названию задачи, а по тому, какие величины связаны в условии.

Перевод ситуации в уравнение называют математическим моделированием. Этот подход пригодится в практических расчётах и при изучении систем уравнений и функций. Умение проверять модель помогает понять, отражает ли она реальную ситуацию, а не только даёт вычислительный результат.

Что запомнить

• Сначала разберись в условии, затем выбирай неизвестную.
• Переменную нужно обозначить и пояснить.
• Уравнение должно точно отражать связи из условия.
• Решение уравнения даёт кандидатов на ответ, а не всегда готовый ответ.
• Каждый корень проверяют по смыслу задачи и ограничениям.
• Ответ записывают словами и с подходящими единицами измерения.