6.1. Статистические характеристики

Определения и обозначения

Среднее арифметическое — сумма всех чисел набора, делённая на их количество. Например, для 2, 4 и 6 оно равно (2 + 4 + 6) : 3 = 4. Эта характеристика помогает оценить общий уровень данных, учитывая каждое значение.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим числами набора. Если крайние значения равны 3 и 11, размах составляет 11 − 3 = 8. Он показывает, насколько широко данные простираются от минимума до максимума.

Мода — значение, которое встречается чаще других. В наборе 2, 3, 3, 5 модой является 3, потому что оно повторяется чаще остальных. Мод может быть несколько, а если нет значения с наибольшей частотой, моды не будет.

Медиана — значение посередине набора, записанного по возрастанию. Если чисел нечётное количество, берут одно центральное значение. Если количество чётное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел; она помогает определить середину данных.

Как это устроено

Статистические характеристики нужны, чтобы описать большой список чисел несколькими понятными показателями. Но один показатель не может рассказать обо всём: среднее и медиана связаны с центром, мода — с частотой, а размах — с крайними значениями. Поэтому полезно выбирать характеристику по вопросу, на который нужно ответить. Если важно сравнить типичный уровень, смотрят на центр, а если интересует ширина разброса — на размах.

Среднее арифметическое находят, складывая все значения и деля результат на их количество. Делитель равен числу наблюдений, потому что сумма распределяется поровну между всеми значениями. Каждое наблюдение влияет на итог: изменение даже одного числа меняет сумму, а значит, может изменить и среднее. Поэтому среднее удобно для общей оценки, но отдельное очень большое или маленькое значение способно заметно на него повлиять.

Для поиска медианы числа сначала упорядочивают, потому что «середина» означает место между меньшей и большей половинами набора. При нечётном количестве есть ровно одно центральное значение, и по обе стороны от него располагается одинаковое число данных. При чётном количестве центральных значений два, поэтому берут их среднее арифметическое. Так медиана остаётся серединой ряда, даже если в центре нет одного конкретного числа.

Моду находят подсчётом частоты каждого значения, то есть количества его повторений. Значение с наибольшей частотой и будет модой, поскольку оно встречается чаще остальных. Если несколько значений делят первое место по частоте, мод несколько. Если все значения встречаются одинаково часто, выбрать самое частое невозможно, поэтому мода отсутствует.

Размах вычисляют по крайним значениям: из максимума вычитают минимум. Для этого удобно сначала упорядочить данные, хотя достаточно просто определить самое большое и самое маленькое числа. Размах зависит только от этих двух значений, поэтому остальные числа на него не влияют. Он показывает общую ширину промежутка, но не объясняет, сгруппированы ли данные около середины или распределены по всему промежутку.

Статистические характеристики набора данных

Выбирайте строку по тому, что требуется узнать: центр, частое значение или разброс. В столбце «Как найти» указано действие, а в столбце «Что показывает» — смысл результата. Для полной картины можно вычислить несколько характеристик одного набора.

Разбор задач

Задача 1. Найти среднее арифметическое и размах чисел 3, 5, 7, 9. Сначала определим, какие вычисления нужны для каждого показателя: среднее учитывает все числа, а размах — только крайние. Чисел в наборе четыре, наименьшее равно 3, наибольшее — 9.

1. Сложим числа: 3 + 5 + 7 + 9 = 24.
2. Разделим сумму на количество чисел: 24 : 4 = 6.
3. Найдём размах: 9 − 3 = 6.

Ответ: среднее арифметическое равно 6, размах равен 6. Эти результаты случайно совпали, но обозначают разные свойства набора. Первое получено с использованием всех чисел, второе — только максимума и минимума.

Задача 2. Для чисел 2, 4, 4, 6, 9 найти моду и медиану. Ряд уже упорядочен по возрастанию, поэтому центральное положение можно определить сразу. Затем сравним, сколько раз встречается каждое значение.

1. Число 4 встречается дважды, остальные числа — по одному разу, значит, мода равна 4.
2. В наборе пять чисел, то есть количество нечётное; центральное место — третье.
3. Третье число равно 4, поэтому медиана также равна 4.

Ответ: мода — 4, медиана — 4. Здесь совпадение получилось потому, что самое частое значение расположено в центре ряда. В других наборах мода и медиана могут быть разными.

Задача 3. Для набора 1, 3, 3, 5, 8, 10 найти все четыре характеристики и выяснить, что произойдёт, если заменить 10 на 20. Набор уже упорядочен, в нём шесть чисел, поэтому для медианы потребуются два центральных значения. Для изменения среднего пересчитаем сумму, а для размаха сравним крайние числа.

1. Сумма равна 1 + 3 + 3 + 5 + 8 + 10 = 30, среднее арифметическое: 30 : 6 = 5.
2. Размах равен 10 − 1 = 9. Число 3 встречается чаще остальных, поэтому мода равна 3.
3. Два центральных числа — 3 и 5; медиана равна (3 + 5) : 2 = 4.
4. После замены 10 на 20 сумма увеличится на 10, поэтому среднее станет 40 : 6 = 6⅔. Новый размах равен 20 − 1 = 19.

Ответ: исходные среднее, размах, мода и медиана равны 5, 9, 3 и 4. После замены среднее увеличится до 6⅔, а размах — до 19. Мода и медиана останутся прежними, потому что центральные числа и частота значения 3 не изменятся.

Типичные ошибки

Медиану иногда ищут до упорядочивания чисел. Так делают, если принимают середину записи за середину набора, но порядок записи может быть случайным. Перед поиском расположите значения по возрастанию и проверьте, что слева и справа от центра находится одинаковое количество чисел.

При чётном количестве чисел ошибочно выбирают только одно из двух средних значений. Вероятно, хочется указать одно число, но оба центральных значения вместе разделяют ряд на две равные части. Сложите их и разделите сумму на 2; например, для центральных 4 и 8 медиана равна 6.

Для среднего арифметического сумму могут делить не на количество значений, а на число, не связанное с набором. Ошибка возникает, когда при подсчёте пропускают повторяющиеся числа или путают количество и сумму. Пересчитайте все элементы, включая одинаковые, и убедитесь, что именно их число стало делителем.

Иногда считают, что мода обязательно одна. Это предположение неверно: несколько значений могут встретиться одинаковое наибольшее число раз, а при одинаковой частоте всех значений моды нет. Чтобы проверить ответ, подсчитайте частоту каждого значения и сравните все полученные количества.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужно уметь складывать и сравнивать числа, упорядочивать наборы и находить среднее арифметическое. Эти действия помогают вычислять показатели без ошибок и понимать, какое число является крайним или центральным. Навык чтения таблиц и диаграмм позволяет применять характеристики к данным, представленным не только списком. Такие вычисления используют при сравнении результатов измерений и обработке информации.

Что запомнить

• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Размах равен наибольшему значению минус наименьшее.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Мод может быть несколько или не быть вовсе.
• Для нахождения медианы данные упорядочивают.
• При чётном количестве значений медиана — среднее двух центральных чисел.