"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Таблица частот помогает упорядочить результаты наблюдений: в ней перечисляют разные значения признака и указывают, сколько раз каждое встретилось. По такой таблице удобно сравнивать данные, находить самое распространённое значение и готовить результаты для диаграммы. Абсолютная частота — это количество появлений, а относительная — доля от общего числа наблюдений. Сумма всех частот позволяет проверить, что данные учтены полностью.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Таблица частот — способ упорядочить данные: в ней указывают возможные значения признака и количество их появлений. Например, можно записать, сколько книг прочитал каждый ученик и как часто встречалось каждое число. Такая запись помогает увидеть общую картину, не перечитывая весь список наблюдений.
Варианта — отдельное значение исследуемого признака, которое встретилось в наборе данных. Если признак — число прочитанных книг, вариантами могут быть 1, 2, 3 и 4 книги. Выделение вариантов нужно, чтобы сгруппировать одинаковые результаты и не считать каждый раз весь список заново.
Абсолютная частота — число появлений данного варианта в наборе данных. Обычно её обозначают nᵢ; индекс i просто помогает различать строки таблицы. Например, если значение 2 встретилось пять раз, его абсолютная частота равна 5.
Относительная частота — доля наблюдений с данным вариантом; её находят, разделив абсолютную частоту на общее число наблюдений: wᵢ = nᵢ / N. Она показывает не только количество, но и то, какую часть всех результатов составляет вариант. Её можно записать десятичной дробью или процентом.
Сначала из исходного набора данных выделяют все разные значения признака. Повторяющиеся значения записывают один раз, потому что в таблице каждому варианту отводится отдельная строка. Обычно варианты располагают по возрастанию: так легче заметить пропуск и сравнивать соседние значения.
Затем подсчитывают, сколько раз встретился каждый вариант. Именно это число и есть абсолютная частота: она отвечает на вопрос «сколько наблюдений имеют такое значение?». Чтобы не потерять данные, удобно отмечать каждое найденное появление, а после подсчёта сверить сумму отметок с числом элементов исходного списка.
Общее число наблюдений N — это количество всех объектов в наборе. Его можно узнать подсчётом исходных данных или сложением абсолютных частот в таблице. Чтобы получить относительную частоту варианта, его абсолютную частоту делят на N: так количество превращается в долю от целого.
Все наблюдения распределены между перечисленными вариантами, поэтому сумма абсолютных частот должна совпасть с N. Если она меньше, возможно, пропущен вариант или появление; если больше — некоторые данные могли посчитать дважды. Относительные частоты тоже описывают все наблюдения вместе, поэтому их сумма равна 1, то есть 100%.
По таблице варианты сравнивают, сопоставляя их частоты. Наибольшая абсолютная частота показывает, какое значение встретилось чаще остальных; если максимальных частот несколько, наиболее распространённых вариантов несколько. Относительные частоты позволяют сравнивать доли, особенно когда наборы разного размера.
Высота каждого столбца на диаграмме показывает абсолютную частоту соответствующего значения признака.
| Значение признака xᵢ | Абсолютная частота nᵢ | Относительная частота wᵢ | Процент |
|---|---|---|---|
| Вариант x₁ | n₁ | n₁ / N | (n₁ / N) · 100% |
| Вариант x₂ | n₂ | n₂ / N | (n₂ / N) · 100% |
| … | … | … | … |
| Вариант xₖ | nₖ | nₖ / N | (nₖ / N) · 100% |
| Итого: сумма частот и 100% | N | 1 | 100% |
В первых столбцах записывают варианты и число их появлений, а в следующих — долю и процент от общего числа наблюдений. Чтобы заполнить строку, найди nᵢ, раздели его на N и при необходимости умножь результат на 100%. Итоговая строка помогает проверить таблицу.
Задача 1. По данным о числе книг, прочитанных 12 учениками за месяц: 1, 2, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 3, 2, 1, 2, составить таблицу частот. Сначала выберем значения, которые действительно есть в списке, затем подсчитаем каждое. Это позволяет заполнить таблицу без повторного перечисления всех учеников.
Ответ: абсолютные частоты вариантов 1, 2, 3, 4 равны соответственно 4, 5, 2 и 1.
Задача 2. Для таблицы частот результатов контрольной работы определить относительные частоты и представить их в процентах. Числа в самой таблице не заданы, поэтому запишем общий способ: пусть абсолютные частоты равны n₁, n₂, …, а всего работ N. Каждая строка требует отдельного вычисления по одной формуле.
Ответ: относительные частоты находят делением каждой абсолютной частоты на N, а процент — умножением результата на 100%. Для численного ответа нужны значения из исходной таблицы.
Задача 3. В таблице указаны варианты 0, 1, 2, 3 и относительные частоты 0,2; 0,35; 0,3; 0,15. Всего наблюдений 200. Нужно найти абсолютные частоты и наиболее частый вариант. Здесь доля показывает, какая часть от 200 наблюдений относится к каждому значению.
Ответ: абсолютные частоты равны 40, 70, 60, 30; наиболее частый вариант — 1.
Можно перепутать вариант и его частоту: вместо значения признака записать число его появлений. Так происходит, если не различать вопрос «какое значение?» и вопрос «сколько раз?». Проверь заголовки столбцов и сравни строки: в одной должно стоять, например, 2 книги, в другой — количество учеников, прочитавших 2 книги.
При сложении относительных частот иногда смешивают десятичные дроби и проценты: например, складывают 0,2 и 30%. Это разные записи доли, поэтому сначала приведи все числа к одной форме. Проверка простая: используй либо только дроби, либо только проценты.
Ещё одна ошибка — делить абсолютную частоту на число вариантов, а не на число наблюдений. Число вариантов показывает, сколько разных значений есть в таблице, но не размер набора данных. Для проверки сложи абсолютные частоты и именно полученную сумму используй как N.
Если не проверить итоговую строку, можно оставить пропущенные или дважды посчитанные данные. Сумма абсолютных частот должна совпадать с объёмом набора, а сумма относительных — быть равной 1 или 100%. Небольшое отличие во второй сумме возможно после округления; в таком случае перепроверь расчёты до округления.
Для составления таблицы нужно уметь собирать и упорядочивать данные, считать количество объектов, работать с дробями и процентами. Затем частоты можно представить на диаграмме: например, высота столбца показывает, сколько раз встретился вариант. Такие таблицы помогают анализировать результаты наблюдений и опросов.
Тема подготавливает к изучению статистических характеристик, которые описывают набор данных, и вероятности случайных событий. Частоты позволяют увидеть, как распределились реальные результаты, а относительные частоты выражают это распределение в долях. Эти способы анализа данных связаны, но отвечают на разные вопросы.
Чем вариант отличается от абсолютной частоты?
Вариант — это само значение признака, например число прочитанных книг: 1 или 2. Абсолютная частота показывает, сколько учеников выбрали это значение.
Как найти общее число наблюдений по таблице?
Сложи абсолютные частоты всех вариантов. Полученная сумма равна числу объектов или наблюдений в исходном наборе данных.
Можно ли записывать относительную частоту в процентах?
Да. Для этого относительную частоту умножают на 100%: например, 0,25 = 25%. В таблице можно указать и доли, и проценты.
Почему сумма относительных частот иногда получается равной 0,99 или 1,01?
Такое может произойти, если частоты округляли до сотых или до целых процентов. До округления их сумма равна 1, а в процентах — 100%; небольшое отклонение после округления допустимо.
Как по таблице определить самый распространённый вариант?
Сравни абсолютные частоты и найди наибольшую. Вариант, которому она соответствует, встречался чаще остальных.
6.2. Таблицы частот
