Статистические характеристики

Определения и обозначения

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями набора данных. Например, если крайние значения равны 3 и 10, размах равен 10 − 3 = 7. Он нужен, чтобы оценить, насколько широко разбросаны данные от одного края до другого.

Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество. Для чисел 2, 4 и 6 оно равно (2 + 4 + 6) : 3 = 4. Эта характеристика помогает представить общий уровень набора одним числом, хотя само среднее может не входить в набор.

Мода — значение, которое встречается в наборе чаще других. В наборе 2, 5, 5, 8 модой будет 5, потому что оно повторяется чаще остальных. Мод может быть несколько, если несколько значений встречаются одинаково часто, или не быть вовсе, если все значения встречаются одинаково часто.

Медиана — значение, стоящее посередине упорядоченного набора данных. Если число значений чётное, медианой считают среднее арифметическое двух центральных значений. Медиана нужна, чтобы найти середину ряда и разделить значения на две части: не меньшие и не большие неё.

Как это устроено

Чтобы найти размах, достаточно узнать только два числа: самое большое и самое маленькое. Все остальные значения лежат между ними, поэтому они не могут изменить расстояние между краями. Из-за этого размах легко вычислять, но он не показывает, много ли чисел около середины или как именно они распределены внутри границ.

Для среднего арифметического сначала складывают каждое значение, а затем делят полученную сумму на число слагаемых. Деление на количество нужно потому, что мы как бы поровну распределяем общую сумму между всеми значениями. Если изменить любое число, изменится сумма, а значит, обычно изменится и среднее; поэтому на него влияет каждое значение набора.

Моду находят подсчётом частоты — числа появлений каждого значения. После подсчёта сравнивают частоты и выбирают значение с наибольшей. Если максимальная частота принадлежит нескольким значениям, мод несколько; если все частоты одинаковы, выделить наиболее частое значение нельзя.

Перед поиском медианы числа упорядочивают, иначе невозможно надёжно определить, какое из них находится в середине. При нечётном количестве значений середина одна: например, в ряду из пяти чисел это третье. При чётном количестве середины две, поэтому берут среднее этих двух значений, чтобы получить точку ровно между ними.

Рассмотрим один набор: 2, 4, 4, 6, 9. Размах равен 9 − 2 = 7, а среднее арифметическое — 25 : 5 = 5. Мода равна 4, потому что это число встречается чаще, а медиана тоже равна 4, поскольку стоит посередине ряда. Значения характеризуют набор по-разному: через крайние числа, общий уровень, частоту и середину.

Статистические характеристики набора данных

Пользуйся таблицей как планом: сначала определи, какую характеристику требуется найти, затем выбери соответствующее действие. Если нужно описать набор полнее, вычисли несколько характеристик. Они не заменяют друг друга, потому что показывают разные стороны данных.

Разбор задач

Задача 1. Найдите размах набора температур: 12, 15, 9, 18, 14. Чтобы найти размах, не нужно складывать все температуры или ставить их в порядок. Достаточно сравнить числа и выбрать крайние.

1. Наибольшая температура равна 18, наименьшая — 9.
2. Вычитаем меньшее значение из большего: 18 − 9 = 9.

Ответ: размах температур равен 9.

Задача 2. Для чисел 4, 6, 6, 8, 11 найдите среднее арифметическое и моду. Для среднего нужно учесть все пять чисел, а для моды — выяснить, какое значение встречается чаще. Эти действия отвечают на разные вопросы, поэтому выполним их отдельно.

1. Находим сумму: 4 + 6 + 6 + 8 + 11 = 35.
2. Делим сумму на количество чисел: 35 : 5 = 7.
3. Считаем повторы: число 6 встречается дважды, остальные — по одному разу.

Ответ: среднее арифметическое равно 7, мода равна 6.

Задача 3. Для набора 3, 7, 5, 7, 9, 4 найдите медиану, размах, среднее арифметическое и моду. Для медианы сначала требуется упорядочить числа, а это удобно сделать сразу. Затем каждую характеристику найдём по её правилу.

1. Упорядочиваем числа: 3, 4, 5, 7, 7, 9. Два центральных числа — 5 и 7, поэтому медиана равна (5 + 7) : 2 = 6.
2. Крайние числа — 3 и 9, значит, размах равен 9 − 3 = 6.
3. Сумма равна 35, чисел шесть: среднее арифметическое равно 35 : 6 = 5 5/6.
4. Чаще других встречается 7, поэтому мода равна 7.

Ответ: медиана — 6, размах — 6, среднее арифметическое — 5 5/6, мода — 7. Получившиеся ответы могут различаться, потому что каждая характеристика описывает свой признак набора.

Типичные ошибки

Иногда размах находят сложением наибольшего и наименьшего значений. Так происходит, если забыть, что размах — это расстояние между краями, а расстояние здесь выражается разностью. Проверь себя: результат должен получиться вычитанием меньшего числа из большего.

При вычислении среднего арифметического можно разделить сумму не на то число: например, на последнее значение или на сумму значений. Обычно так случается, когда путают количество чисел с их величинами. Пересчитай элементы набора и проверь, что делитель равен именно их количеству.

Модой иногда называют самое большое значение, хотя мода определяется не величиной, а частотой появления. Такая ошибка возникает, когда слова «самое большое» и «чаще всего» принимают за одно и то же. Чтобы проверить ответ, подсчитай, сколько раз встречается каждое число, и сравни частоты.

Медиану нельзя надёжно найти в неупорядоченном наборе: середина должна определяться по расположению чисел от меньшего к большему или наоборот. При чётном количестве элементов также ошибочно выбирать только одно из двух средних значений. Сначала упорядочь ряд, найди центральное число или пару, а при чётном количестве вычисли среднее пары.

Связь с другими темами

Для работы со статистическими характеристиками нужны простые вычислительные умения: складывать и сравнивать числа, находить разность и делить сумму на число слагаемых. Если эти действия выполняются уверенно, можно сосредоточиться на выборе подходящего способа описания данных. Полезно также внимательно считать количество значений и их повторы.

Статистические характеристики помогают анализировать таблицы и результаты наблюдений, например измерения температуры или итоги опроса. Позже эти способы описания данных пригодятся при изучении статистики и вероятности. Они позволяют увидеть особенности набора чисел до того, как делать выводы о явлении.

Что запомнить

• Размах равен разности наибольшего и наименьшего значений.
• Среднее арифметическое равно сумме значений, делённой на их количество.
• Мода — значение с наибольшей частотой.
• Мод может быть несколько или не быть вовсе.
• Для поиска медианы данные сначала упорядочивают.
• При чётном количестве значений медиана — среднее двух центральных.