"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Дроби и проценты помогают описывать части целого и сравнивать величины. Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли, а процент обозначает сотую долю. Эти записи встречаются в задачах о скидках, изменениях цен и долях величины. Главное — по условию определить, что требуется найти: часть от целого, целое по известной части или процентное отношение двух величин. От этого зависит выбор действия.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь записывается, например, так: 3/5. Знаменатель 5 показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель 3 — сколько таких частей взяли. Дробь также означает деление числителя на знаменатель: 3/5 = 3 : 5. Это помогает понимать дробь как часть целого и выполнять вычисления.
Процент — одна сотая часть величины, поэтому 1% = 1/100. Например, если целое разделить на сто равных частей, каждая часть составляет один процент. Число процентов записывают дробью со знаменателем 100: 15% = 15/100. Такая запись позволяет вычислять проценты с помощью обычных действий с дробями.
Процент от числа — часть величины, соответствующая заданному числу процентов. Например, 20% от некоторого числа — это двадцать сотых этого числа. Чтобы найти такую часть, нужно представить процент дробью и применить её к целому. Этот способ используют, например, при расчёте скидки.
Процентное отношение показывает, сколько процентов одна величина составляет от другой. Для его нахождения первую величину сравнивают со второй, принятой за целое, и результат выражают в процентах. Это помогает сравнить части и целые, например определить, какую долю всех учеников составляют участники кружка.
Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, разделив числитель на знаменатель: например, 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Обратно, десятичную дробь записывают обыкновенной по разрядам: 0,75 = 75/100 = 3/4. Для вычислений выбирают более удобную запись: с десятичной дробью проще умножать на калькуляторе, а обыкновенная часто удобнее для точного ответа. Если деление не заканчивается, дробь можно оставить обыкновенной.
Чтобы найти процент от числа, процент сначала превращают в долю целого: p% = p/100. Затем умножают исходное число на эту долю, потому что умножение на дробь оставляет нужную часть от целого. Так, 25% от 80 — это 80 · 25/100 = 20. Результат меньше исходного числа, ведь 25% — меньше 100%.
В обратной задаче часть уже известна, а требуется восстановить целое. Если известно, что 30 — это 20% числа, то число обозначает целое, из которого взяли долю 0,2. Поэтому известную часть делят на долю: 30 : 0,2 = 150. Умножение здесь не подходит: оно уменьшило бы известную часть, хотя целое должно быть больше неё.
Процентное отношение находят делением сравниваемой величины на величину, принятую за целое, а затем умножением на 100%. Например, если из 40 книг 10 — словари, то 10 : 40 · 100% = 25%. Величина 40 здесь составляет 100%, потому что именно от общего количества определяется доля словарей. Если переставить числа, ответ будет показывать уже другое отношение.
Чтобы выбрать действие, сначала определи, что в задаче известно и что спрашивается. Если известны целое и доля, ищи часть умножением; если известны часть и её доля, ищи целое делением. Если нужно сравнить две величины в процентах, дели сравниваемую на выбранное целое. Такой разбор условия помогает не перепутать похожие задачи.
| Тип задачи | Что известно | Что требуется найти | Основное действие |
|---|---|---|---|
| Найти дробь от числа | Число и дробь | Часть числа | Умножить число на дробь |
| Найти процент от числа | Число и процент | Часть числа | Умножить число на процентную долю |
| Найти число по его дроби | Часть числа и дробь | Целое число | Разделить часть на дробь |
| Найти число по его проценту | Часть и соответствующий процент | Целое число | Разделить часть на процентную долю |
| Найти процентное отношение двух чисел | Сравниваемое число и целое | Сколько процентов составляет часть | Разделить часть на целое и умножить на 100% |
Сначала найди в условии целое и выясни, известна ли его часть или требуется её получить. Затем выбери строку, где совпадают известные данные и вопрос задачи. Если нужно процентное отношение, отдельно проверь, какое число принято за 100%.
Нужно найти часть числа 40, а не всё число по известной части. Поэтому умножаем 40 на дробь 3/5; вычисление можно выполнить в удобном порядке. Сначала делим 40 на 5, затем умножаем результат на 3.
Ответ: 24. Это разумный результат: 3/5 меньше единицы, значит, часть должна быть меньше 40.
Здесь известно целое 240, а требуется найти его часть, равную 15%. Переводим процент в долю: 15% = 15/100 = 0,15. Умножение на эту долю находит именно часть исходного числа, а не целое по части.
Ответ: 36. Проверка: 15% меньше 100%, поэтому результат меньше 240.
Цена после скидки — не 20% первоначальной цены. Скидка составляет 20%, поэтому после её вычета остаётся 100% − 20% = 80% первоначальной цены. Значит, 960 рублей — это 0,8 первоначальной цены, и для восстановления целого нужно делить на 0,8.
Ответ: первоначальная цена — 1200 рублей. Проверка: 20% от 1200 равны 240, а 1200 − 240 = 960.
При переводе процентов в дробь иногда забывают разделить число процентов на 100 и воспринимают процент как отдельную единицу. Например, 15% — это не 15, а 15/100 = 0,15. Ошибка особенно вероятна, если сразу подставить число 15 в вычисление. Для проверки выпиши равенство p% = p/100 и сравни полученную долю с единицей.
В обратной задаче известную часть могут умножить на процент вместо того, чтобы разделить на соответствующую долю. Например, если 20% равны 30, целое должно быть больше 30, а умножение 30 на 0,2 даёт меньшее число. Ошибку допускают, путая поиск части с восстановлением целого. Проверь направление: если известна часть меньше целого, деление на долю меньше единицы должно увеличить число.
При нахождении процентного отношения иногда меняют местами сравниваемые величины или принимают за 100% не то число. Например, долю учеников кружка нужно сравнивать со всеми учениками, а не наоборот. Так путают числитель и знаменатель отношения. Перед вычислением назови целое словами и поставь его в знаменатель; затем проверь, отвечает ли результат вопросу.
Дроби с разными знаменателями нельзя складывать или вычитать, просто складывая или вычитая числители. Так делают, когда знаменатели принимают за одинаковые части, хотя они задают разный размер долей. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, чтобы сравнивать равные по размеру части. Проверка проста: после приведения знаменатели должны совпасть, а значение каждой дроби — сохраниться.
Для решения задач этого параграфа нужны действия с обыкновенными и десятичными дробями, сокращение дробей и умение находить долю числа. Эти навыки позволяют переводить проценты в удобную запись и выполнять вычисления без путаницы. Дроби и проценты применяются в задачах на скидки и изменение величин. Они также помогают разбираться в пропорциях и отношениях между числами.
Как перевести обыкновенную дробь в проценты?
Сначала раздели числитель на знаменатель, чтобы получить десятичную дробь, а затем умножь результат на 100. Например, 3/4 = 0,75 = 75%. Если дробь удобно привести к знаменателю 100, можно сделать это сразу.
Почему процент нужно делить на 100?
Слово «процент» означает «сотая часть», поэтому 1% = 1/100. Значит, p% записывают дробью p/100, например 15% = 15/100 = 0,15.
Как найти число, если известен его процент?
Сначала запиши известный процент десятичной дробью или дробью со знаменателем 100. Затем раздели известную часть на эту долю: например, если 20% числа равны 30, то всё число равно 30 : 0,2 = 150.
Как понять, какую величину в задаче принять за 100%?
За 100% принимают целое, с которым сравнивают другую величину. Обычно это первоначальное количество или величина, названная в вопросе как целое; проверь, относительно чего в условии говорится «от», «составляет» или «после изменения».
Как проверить, что ответ в задаче на проценты разумен?
Сравни результат с исходным целым: часть должна быть меньше целого, если искомый процент меньше 100%. При восстановлении целого деление на долю меньше единицы должно дать число больше известной части. Подстановка ответа в условие помогает проверить вычисления.
Решение упражнений по теме: Дроби и проценты
