"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
В реальных задачах величины часто связаны: например, путь зависит от скорости и времени, а стоимость покупки — от цены и количества товаров. Такую связь записывают формулой — буквенным выражением, по которому можно вычислить одну величину, если известны другие. Главное — понимать смысл каждой буквы, правильно подставлять значения, согласовывать единицы измерения и учитывать, какие числа допустимы по условию задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Зависимость величин — связь, при которой изменение одной величины связано с изменением другой. Например, чем больше времени автомобиль движется с постоянной скоростью, тем больший путь он проходит. Это понятие помогает описывать реальные ситуации с помощью математики и находить неизвестные значения.
Независимая переменная — величина, значение которой выбирают или задают, обозначая её буквой. Например, в задаче о поездке можно задать время движения t. Это обозначение нужно, чтобы коротко записывать разные возможные значения величины и исследовать, как при их изменении меняется результат.
Зависимая переменная — величина, значение которой определяется значением независимой переменной. Если известны скорость и время движения, по ним можно найти путь. Такое понятие помогает понять, какую величину надо вычислять после того, как заданы другие данные.
Формула — буквенная запись, которая выражает зависимость величин и позволяет вычислить одну из них по известным значениям других. Например, запись s = vt связывает путь s, скорость v и время t. Формула нужна, чтобы описывать правило расчёта для разных числовых данных, а не только для одного примера.
В реальной ситуации сразу могут меняться несколько величин, потому что события связаны между собой. При покупке большего количества одинаковых товаров растёт общая стоимость, а при движении автомобиля с течением времени увеличивается пройденный путь. Если знать, как величины связаны, можно предсказать результат и найти то, что прямо не указано в условии. Математическая запись этой связи делает расчёт понятным и повторяемым.
Для равномерного движения путь равен произведению скорости на время: s = vt. Если скорость известна и нужно найти путь, используют эту запись напрямую; если известны путь и скорость, делят путь на скорость и получают t = s / v. Аналогично, когда известны путь и время, скорость находят по формуле v = s / t. Значит, одна связь позволяет вычислить любую из трёх величин, если заданы две остальные.
Чтобы определить независимую и зависимую переменные, сначала выясняют, что задаётся в ситуации и что требуется найти. Например, при постоянной скорости можно выбрать время движения, а путь будет определяться этим временем; тогда время — независимая величина, путь — зависимая. Если же условие задаёт путь и просит найти время, удобнее считать время искомой величиной. Роли букв определяет смысл задачи, а не то, в каком порядке они стоят в формуле.
Подстановка означает, что известное число ставят вместо буквы, обозначающей соответствующую величину, а затем выполняют вычисления. Например, при скорости 60 км/ч и времени 2 ч получаем s = 60 · 2 = 120 км. Единицы должны подходить друг к другу: километры в час умножают на часы, и в результате получают километры. Если время дано в минутах, его сначала переводят в часы или выражают скорость в согласованных единицах.
Формула описывает связь только при значениях, которые имеют смысл в условии. В задаче о длине время не может быть отрицательным, а длина стороны прямоугольника должна быть больше нуля. Для прямоугольника с периметром 30 см сторона x должна быть меньше 15 см, иначе для второй стороны не останется положительной длины. Такие ограничения называют допустимыми значениями переменной; их проверяют до подстановки и после вычисления.
| Ситуация | Формула | Независимая величина | Зависимая величина |
|---|---|---|---|
| Движение с постоянной скоростью | s = vt | Время t (если скорость задана) | Путь s |
| Стоимость нескольких одинаковых товаров | C = pn | Количество n | Стоимость C |
| Периметр прямоугольника при заданных длине и ширине | P = 2(a + b) | Длины сторон a и b | Периметр P |
| Площадь прямоугольника при заданных длине и ширине | S = ab | Длины сторон a и b | Площадь S |
Сначала найди в таблице подходящую ситуацию и прочитай, что обозначают буквы в её формуле. Затем определи, какие величины уже заданы, а какую нужно найти, и подставь данные с подходящими единицами. Если в условии роли величин отличаются от указанных в таблице, ориентируйся на условие и преобразуй формулу.
Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Нужно записать формулу пути за время t и найти путь за 2 часа. Скорость постоянная, поэтому каждый час автомобиль проходит одинаковое расстояние. В условии время задано в часах, оно согласуется с единицей скорости.
Ответ: s = 60t; за 2 часа автомобиль проедет 120 км.
Один карандаш стоит 15 рублей. Требуется записать формулу стоимости n карандашей и узнать цену покупки из 7 карандашей. Стоимость зависит от количества: каждый добавленный карандаш увеличивает её на 15 рублей. Количество здесь удобно выбрать независимой переменной.
Ответ: C = 15n; 7 карандашей стоят 105 рублей.
Периметр прямоугольника равен 30 см, одна сторона равна x см. Нужно найти формулу для другой стороны, вычислить её при x = 6 см и указать допустимые значения x. Периметр складывается из двух длин и двух ширин, поэтому сначала запишем связь для обеих сторон. Обозначим другую сторону буквой y.
Ответ: y = 15 − x; при x = 6 см другая сторона равна 9 см, допустимые значения: 0 < x < 15 см.
Иногда независимую и зависимую величины определяют по порядку букв в формуле. Такой подход ошибочен: запись s = vt сама по себе не сообщает, что именно задано в конкретной задаче. Ошибку допускают, когда не читают условие; проверь себя вопросом: «Что выбирают или знают, а что требуется найти?»
Другая ошибка — подставить число вместо неподходящей буквы или оставить букву в вычислении. Так бывает, если не сопоставить данные с обозначениями формулы. Перед расчётом подпиши, что означает каждая буква, а после подстановки проверь, что в записи остались именно нужные числа и неизвестные.
Нельзя смешивать несовместимые единицы, например подставлять минуты в формулу, где скорость дана в километрах в час. В результате число может выглядеть правдоподобно, но расстояние окажется неверным. Проверь единицы до вычисления: переведи минуты в часы либо приведи скорость к километрам в минуту.
Формулу также ошибочно считают подходящей для любых чисел. В задачах о реальных величинах отрицательная длина не имеет смысла, а число предметов обычно должно быть целым. После вычисления проверь ответ по условию и выясни, какие ограничения накладываются на переменные; если значение им противоречит, подставлять его нельзя.
Для работы с формулами нужно уметь подставлять числа вместо букв в буквенное выражение и выполнять действия в правильном порядке. Если этот навык пока вызывает трудности, полезно отдельно потренироваться на простых выражениях. Тогда вычисление по формуле сводится к аккуратной замене букв числами и проверке результата.
Запись зависимостей пригодится при изучении функций: формулу можно использовать, чтобы составить таблицу значений и увидеть, как меняется результат. Те же приёмы применяются в задачах на движение и стоимость, а также при вычислении периметра и площади. В каждом случае важно связать обозначения с условием и учитывать смысл величин.
Как понять, какая величина независимая, а какая зависимая?
Независимой называют величину, значение которой задают или выбирают. Зависимую находят по формуле: её значение меняется вслед за независимой величиной. Ориентируйся на смысл задачи, а не на порядок букв.
Почему в формуле пути можно выразить не только путь, но и время?
Формула s = vt связывает путь, скорость и время. Если известны две величины, можно преобразовать равенство и найти третью: например, t = s / v. При этом скорость должна быть ненулевой.
Как правильно подставлять числа в формулу?
Сначала определи, какой букве соответствует данное в условии число. Затем замени эту букву числом, сохраняя остальные обозначения, и выполни вычисления по порядку действий. В конце запиши единицу измерения результата.
Зачем при вычислениях следить за единицами измерения?
Единицы показывают, какие именно величины используются, и помогают проверить вычисление. Например, при скорости в километрах в час время нужно выразить в часах. Иначе результат будет неверным или получит неподходящую единицу.
Почему не каждое число можно подставить вместо переменной?
Переменная обозначает величину из условия, а реальные величины имеют ограничения. Длина и количество предметов не могут быть отрицательными, а в некоторых задачах число предметов должно быть целым. Поэтому допустимые значения определяют по смыслу ситуации.
З Зависимости и формулы
